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式中称为初应变．

在没有塑性应变和温度应变的情况下，只有蠕变应变为初应变．根据虚功原理，可得到有限元方程：其中为弹性刚度矩阵，为位移增量，为包括外载荷增量及不平衡力，为初应变引起的初应力增量：

显然，初应力增量并不是已知数，而是非线性应变的函数，也即是位移的函数，在求解之前是未知的．因而，上式是非线性方程．其求解的方法与弹塑性问题相似．将载荷时间函数按时间分成若干段，按时间段逐个加载荷．不同的是，弹塑性问题与时间无关，在讨论解法时，为了描述问题方便，有时提到的时间是虚拟的，而蠕变却是真实的时间．

4.3弹粘塑性的有限元分析有些材料在受外力作用时，变形与时间有关，即呈现所谓的粘性．有些材料在弹性阶段就有明显的粘性，这种材料称为粘弹塑材料.

而有些材料只是在塑性阶段才呈现明显的粘性，则称为弹粘塑性材料.例高应变速率下的金属材料一般可作为弹粘塑性材料来处理.材料的弹粘塑性是与时间相关的一种材料非线性性能，它可以将弹性、弹塑性与蠕变集合成统一的模型，而弹性、塑性及蠕变仅是它的一个特例．

为建立弹粘塑性介质的本构方程，首先假设总应变可以分解为弹性应变和粘塑性应变两部分，以致总应变率可表示为：其次，假设总应力率与弹性应变率之间由虎克定律联系

第三，假设粘塑性应变的出现由粘塑性的屈服函数控制，在等向强化情况，屈服条件是：此外，还要选择一个确定粘塑性应变产生的具体规律，经常采用的粘塑性流动法则是：

其中是控制塑性流动速率的流度参数，它是时间，粘塑性应变张量的不变量的函数。表示一个正的参考值，其作用是使表达式无量纲化，对于是一个正的单调增函数．为保证在屈服面内部()的应力状态，不引起粘塑性流动，在式中使用了符号，它的含义是：

的具体形式可根据材料的实验资料来确定．最常用的两种形式是：

其中和是实验确定的材料常数．由上述几个公式，我们得到弹粘塑性介质的本构方程为：

在上述的弹粘塑性介质的模型中，蠕变现象（和时间有关的具有有限速率的不可逆应变）与塑性现象（瞬时的不可逆应变）是耦合在一起考虑的．这种模型称为耦合模型．另一种弹粘塑性模型是将蠕变现象和塑性现象分开考虑的．这时要假设介质的总应变可以分解为弹性、塑性和蠕变三个独立的应变，因此有

并假设每种应变遵循各自的本构规律，弹性应变的本构关系仍为以前的形式，塑性应变率和蠕变应变率则可采用前面介绍的本构关系．这种模型也称为弹塑性蠕变模型．

对弹粘塑性问题的有限元解法可以有两种途径．第一种是采用弹塑性问题中所介绍的切向刚度法，建立应力率与非弹性应变率（粘塑性应变率）之间的切线刚度阵，使有限元刚度矩阵成为应力、应变和位移增量的非线性隐函数，通过数值解法求解．

第二种途径是采用蠕变问题中所介绍的初应变（初应力）法．一般对于较简单的弹粘塑性本构材料，例如前面所说的将塑性理论简单地推广到粘塑性材料的本构关系中，则可以采用第一种途径．现在提出了一些比较复杂的粘塑性本构关系，则采用第二种途径比较好．

式中右端的第一、二项均大于零，而第三项有下列四种可能：(1)如材料未屈服或处于卸载过程，则，于是该项为零；(2)若和均处于加载过程，则,该项为

(3)如处于加载，处于卸载，则，于是该项为(4)如处于卸载，处于加载，则，于是该项为

因此，从前面的公式可知因而有

于是得到也即这就证明了在一切运动许可解中，真实解使泛函为最小值．

上述变分原理与弹性力学中的最小势能原理相应．在弹塑性力学中，也有与弹性力学中最小余能原理相应的变分原理：在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可场中，真实解使下列泛函为最小值：

式中为余能密度．