第28讲 三角恒等变换（教师版）.docxVIP

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第28讲三角恒等变换

1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算；

2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换。

一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、两角和与差的正弦：

::

2、两角和与差的余弦：

::

3、两角和与差的正切：

:.:.

注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；

②公式的变形：；

二、二倍角公式

1、二倍角的正弦（）：；变形

2、二倍角的余弦（）：.

3、二倍角的正切（）：

三、升（降）幂缩（扩）角公式

利用余弦的二倍角公式变形可得：

升幂公式：，

降幂公式：，

四、积化和差与和差化积公式

1、积化和差

2、和差化积

五、辅助角公式

对于形如的式子，可变形如下：

=

由于上式中和的平方和为1，

故令，

则==

其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，

或由和共同确定．

六、三角函数给角求值与给值求值问题

“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.

1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．

2、常见的配角技巧：，，

，等．

七、三角函数给值求角问题

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.

遵照以下原则：

（1）已知正切函数值，选正切函数；

（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；

若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好.

考点一：两角和与差的余弦公式

例1．（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】.故选：B.

【变式训练1】化简的结果为.

【答案】/

【解析】

.故答案为：

【变式训练2】的值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】.故选：C

考点二：两角和与差的正弦公式

例2．的值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由三角函数公式化简可得

，故选：．

【变式训练】.

【答案】

【解析】解析原式.故答案为：

考点三：两角和与差的正切公式

例3．若，则等于（）

A．1B．C．2D．

【答案】C

【解析】由，可得，

所以，

故,故选：C

【变式训练1】计算.

【答案】

【解析】.

故答案为：

【变式训练2】的值为（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，故，

即，

所以，

同理，，，

故，故选：B

考点四：二倍角公式

例4．（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由二倍角的正弦公式可得：.故选：B.

【变式训练1】等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】，解得解得或，

，.故选：A

【变式训练2】计算：．

【答案】

【解析】根据二倍角公式得

故答案为：

考点五：和差化积与积化和差公式

例5．（）

A．0B．C．D．

【答案】C

【解析】

,故选：C

【变式训练】若，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为

，所以.故选：C.

考点六：辅助角公式

例6．的值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】.故选：B.

【变式训练1】函数在的最大值是（）

A．2B．0C．1D．

【答案】C

【解析】由已知可得，.

因为，所以.

又在上单调递减，

所以，当，即时，函数取得最大值.故选：C.

【变式训练2】对任意角，化为的形式．

【答案】

【解析】

考点七：给值求值

例7．已知，则．

【答案】

【解析】因为，所以，

所以.故答案为：.

【变式训练1】已知，，求的值．

【答案】.

【解析】因为，，