第16讲 圆的方程7种常见考法归类（（教师版）).docxVIP

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第16讲圆的方程7种常见考法归类

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

知识点1圆的标准方程

1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．

3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．

注：（1）圆的方程的推导：

设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq\r(?x－a?2＋?y－b?2)＝r，

化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．

(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．

(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．

知识点2点与圆的位置关系

(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r?点在圆外；d＝r?点在圆上；d＜r?点在圆内．

(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点在圆外；

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上；

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点在圆内．

知识点3圆的一般方程

1．圆的一般方程的概念

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).

2．圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：

(1)x2，y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F＞0.

3．常见圆的方程的设法

标准方程的设法

一般方程的设法

圆心在原点

x2＋y2＝r2

x2＋y2－r2＝0

过原点

(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2

x2＋y2＋Dx＋Ey＝0

圆心在x轴上

(x－a)2＋y2＝r2

x2＋y2＋Dx＋F＝0

圆心在y轴上

x2＋(y－b)2＝r2

x2＋y2＋Ey＋F＝0

与x轴相切

(x－a)2＋(y－b)2＝b2

x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0

与y轴相切

(x－a)2＋(y－b)2＝a2

x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝0

4.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF0.))

5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

知识点4圆的轨迹问题

轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．

1、求圆的标准方程的方法

确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．

2、判断点与圆的位置关系的方法

(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，