第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类（（教师版）).docxVIP

2024新高考数学

2024新高考数学

勤思笃学

勤思笃学

第12讲倾斜角与斜率5种常见考法归类

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

知识点1直线的倾斜角

1．倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.

2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角

②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线

知识点2直线的斜率

1．斜率的定义

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.

2．斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up7(――→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行

③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换

知识点3斜率与倾斜角的联系

倾斜角

（范围）

斜率

（范围）

不存在

1、求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

3、在0°≤α180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角α

0°

30°

45°

60°

120°

135°

150°

斜率k

0

eq\f(\r(3),3)

1

eq\r(3)

－eq\r(3)

－1

－eq\f(\r(3),3)

4、斜率与倾斜角的关系

（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．

（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．

考点一：求直线的倾斜角

例1．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用直线倾斜角的定义得解.

【详解】直线的倾斜角α的取值范围是．

故选：B．

变式1．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.

【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；

对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；

对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；

其中正确说法的个数为2.

故选：B.

变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．

【详解】依题意，是直线的一个方向向量，

所以直线的斜率，

所以直线的倾斜角为．

故选：C．

变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

??

【答案】

【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，

所以，，故．

故答案为：.

变式4．（2023·江苏·高二假期作业）如