第12讲 幂函数（教师版）.docxVIP

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第12讲幂函数

1．理解幂函数的概念；

2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；

3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念

1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、幂函数需要满足三个条件：

（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如，，等的函数都不是幂函数．

二、幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x1

三、幂函数的性质

1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）

1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；

2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；

3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数

例1．下列函数为幂函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，

故不是幂函数，故选：D

【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B

考点二：根据函数是幂函数求参数

例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（）

A．B．C．3D．

【答案】C

【解析】由题意f（2）＝2α＝，

所以α＝，所以f(x)＝，

所以f(9)＝＝3.故选：C

【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（）

A．2B．C．D．

【答案】D

【解析】由幂函数的定义可知，解得，

由幂函数的单调性可知，所以．故选:D．

考点三：幂函数的定义域问题

例3．函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为，则，可得，

故函数的定义域为.故选：D.

【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

【答案】C

【解析】①的定义域为，不符合.

②的定义域为，符合.

③的定义域为，不符合.

④的定义域为，符合.

⑤的定义域为，不符合.

所以符合的是②④.故选：C

考点四：幂函数的图象判断与应用

例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

A．①，②，③B．①，②，③

C．①，②，③D．①，②，③

【答案】A

【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①；

函数的定义域为，应为图②；

因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.

【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（）

A．，，，B．，，，

C．，，，D．，，，

【答案】B

【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:

当时，越大，递增速度越快，故的，的；

当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.故选:B

考点五：幂函数图象过定点

例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．

【答案】

【解析】由于对任意的，恒经过点，

所以函数的图象恒过定点,

故答案为：

【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．

【答案】

【解析】因为，故当，即时，，

即函数恒过定点.

故答案为：.

考点六：幂函数的单调性与奇偶性

例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误；

在为单调递增函数，B正确；

定义域为，在无意义，C错误；

在为单调递减函数，D错误，故选：B

【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域