专题8.4 抛物线综合【八大题型】（学生版）.docx

2024新高考数学

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专题8.4抛物线综合【八大题型】

【新高考专用】

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【题型1抛物线的定义及应用】 3

【题型2抛物线的标准方程的求解】 3

【题型3抛物线的几何性质及应用】 4

【题型4与抛物线有关的最值问题】 5

【题型5抛物线的弦长问题】 5

【题型6抛物线的焦点弦问题】 6

【题型7抛物线中三角形（四边形）的面积问题】 6

【题型8抛物线中的定点、定值、定直线问题】 7

1、抛物线综合

圆锥曲线是高考的热点内容，抛物线是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等内容，在选择、填空、解答题中都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，在解答题中难度偏大，需要学会灵活求解.

【知识点1抛物线标准方程的求解方法】

1．抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

【知识点2抛物线的焦半径公式】

1．焦半径公式

设抛物线上一点p的坐标为，焦点为F.

(1)抛物线：，；

(2)抛物线：，；

(3)抛物线：，；

(4)抛物线：，.

注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半

径公式.

【知识点3与抛物线有关的最值问题的解题策略】

1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.

(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.

【知识点4直线与抛物线的位置关系】

1．直线与抛物线的位置关系

(1)直线与抛物线的三种位置关系：

(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程

.

①若k≠0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

【知识点5抛物线的弦长与焦点弦问题】

1．弦长问题

设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).

2．抛物线的焦点弦问题

抛物线=2px(p0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).

设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标准方程

弦长公式

y2=2px(p0)

|AB|=x1+x2+p

y2=-2px(p0)

|AB|=p-(x1+x2)

x2=2py(p0)

|AB|=y1+y2+p

x2=-2py(p0)

|AB|=p-(y1+y2)

【题型1抛物线的定义及应用】

【例1】（2024·湖南邵阳·一模）若抛物线y2=2px(p0)上一点M3,m到焦点的距离是5p，则p的值为（????）

A．34 B．43 C．23

【变式1-1】（2023·广西玉林·模拟预测）已知点Mx0,4在抛物线C:x2=2pyp0上，点M到抛物线C的焦点

A．2 B．2 C．22 D．

【变式1-2】（2023·安徽·模拟预测）已知动点M的坐标满足方程x2+(y-

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【变式1-3】（2023·云南红河·一模）如图，M是抛物线y2=8x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=

A．6 B．3 C．83 D．

【题型2抛物线的标准方程的求解】

【例2】（2023·福建莆田·模拟预测）若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为（??????）

A．y2=-6x B．y2=6x

【变式2-1】（2023·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p0)上任意一点到焦点F的距离比到

A．y2=x B．y2=2x

【变式2-2】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l

A．y2=8x

C．y2=2x

【变式2-3】（2023·湖南湘潭·一模）已知抛物线C：y2=2px（p0）的