2025年高考数学二轮复习-3.3-导数的简单应用【课件】.pptxVIP

3.3-导数的简单应用;CONTENTS;

;一、考情分析;

;2．(2023·全国乙卷)(函数的极值)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则 ()

A．a＜b B．a＞b

C．ab＜a2 D．ab＞a2

解析：当a＞0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图①所示，观察可知b＞a.当a＜0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图②所示，观察可知a＞b.综上，可知必有ab＞a2成立．故选D.;3．(2023·新高考全国Ⅰ卷)(函数的最值)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．

解析：函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞)．;4．(2024·新高考Ⅰ卷)(导数的几何意义)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________．;1．四个易误导数公式

(1)(sinx)′＝cosx；

(2)(cosx)′＝－sinx；

(3)(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；;3．利用导数研究函数的极值、最值

(1)若f′(x0)＝0且在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；

(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．

4．常用结论

(1)在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件；

(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零；

(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．;易错提醒(1)求复合函数的导数时分不清函数的层次致误；(2)导数与函数单调性的充分必要条件理解不清致误；(3)导数与极值关系运用不当致误．;

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;(2)(2024·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．;|方法总结|

求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法

(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；

(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．;1．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为 ()

A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0

解析：由题意可知y′＝2cosx－sinx，则y′|x＝π＝－2.所以曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y＋1－2π＝0，故选C．

2．已知函数f(x)＝x3－5x＋a，直线2x＋y＋b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a＋b的值为________．

解析：f′(x)＝3x2－5，令f′(x)＝－2，解得x＝±1.当x＝1时，切点为(1，a－4)，则－4＋a＝－2－b，解得a＋b＝2；当x＝－1时，同理可得a＋b＝－2.又a，b均为正实数，所以a＋b0，即a＋b＝2.;【例2】(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf′(x)的图象可能是();(2)(多选)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，则使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围是 ()

A．(－∞，－3) B．(－3，0)

C．(0，3) D．(3，＋∞);|方法总结|

利用导数研究函数单调性的常见题型及求解策略

(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)0，f′(x)0的解集，但是要注意定义域；

(2)解决含参数问题及不等式问题要注意两个转化：一是利用导数解决含参函数的单调性问题，可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；二是将不等式的证明、方程根的个数的判定问题转化为函数的单调性问题处理．;1．函数y