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专题2几何图形与翻折
一、基本理论:
1.对应点→对应边相等、对应角相等、折痕(对应点连线被折痕垂直平分)
2.出现角平分线→平行、等腰、角平分线(知二推一)
3.翻折后图形全等
二、方法归纳
勾股定理:
①由全等边等,标已知线段长度,设适当线段长度为;
②将已知边和未知边转化到同一个三角形中;
③利用勾股定理建立方程,并求解;
相似三角形:由翻折全等角等相似线段长度
等面积法:由翻折轴对称对角线互相垂直的四边形等面积法线段长
三、常用辅助线
1..特殊角构造直角三角形
2.等腰三角形三线合一
3.连接对称点
4.添加辅助线构造全等三角形
一、典型例题
例1.中点处翻折→必有直角
如图,△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点D是AB的中点,将△ACD沿CD翻折得到△ECD,连接AE,BE,则线段BE的长等于?______??????????????
等腰三角形翻折+平行→寻找隐藏等腰
如图,△ABC中,AB=AC=,BC=3,点D是AC边上一点,连接BD,将△ABD沿BD翻折得到△EBD,BE交AC于点F,且DE∥BC,则△BDF的面积为_____
相等角比较多时→设未知数推导角的度数
如图,在等腰Rt△中,,,点是上一点,将△沿折叠至△,连接,且满足,则点D到AB的距离为________
例4求三角函数值→设比例
如图,在△ABC中∠ACB=90°、∠CAB=30°,△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠,使点D与点C重合,HK为折痕,则sin∠ACH的是______
例5.构造全等三角形
如图在四边形ABEC中,∠BEC和∠BAC都是直角,且AB=AC.现将△BEC沿BC翻折,点E的对应点为,BE与AC边相交于D点,恰好是的角平分线,若CE=1,则BD的长为___2____
特殊角构造直角三角形;等边三角形翻折→有相似
如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别是边AC、BC上两点.将△ABC沿DE翻折,点C正好落在线段AB上的点F处,使得AF:BF=2:3.若BE=16,则AD的长是_____
等腰直角三角形翻折底角→有角等
在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,点D是BC的中点,将△ABC沿着直线EF翻折,使得点A与点D重合,折痕交AB于点E,交AC于点F,那么sin∠BED=_____________
综合运用
如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=,点D是AB上一点,连接CD,将△BCD沿CD翻折得到△,若⊥AC于点E,则E到CD的距离为________
二、练习
1.如图,在△ACB中,AB=4,∠ACB=90°,∠A=75°,点D是AB的中点.将△ACD沿CD翻折得到△A′CD,连接A′B.则A′B的值为_____.
2.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是边BC上一点(点D不与点B,C重合),将△ACD沿AD翻折,点C的对应点为点E,AE交BC于点F,若DE∥AB,则点B到线段AD的距离为_____
3.如图,在三角形纸片ABC中,点D是BC边上的中点,连接AD,把沿着AD翻折,得到,连接CE,若,,则的面积为
4.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=30°,将△ABC沿AC翻折得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则△ABE的面积为_______
5.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AE=1.连接DE,将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内,得△AEF,连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为______
6.如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE、FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为厘米.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置.若DE∥AC,计算DE的长度等于.
8.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=30°,且BC=CA,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,AB′交CD于点E,连接B′D.若AB=3,则B′D的长度为6.
9.如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连结BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC,DC′与AB交于点E,连结AC,若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC′的距离为_____
10.如图,在等腰Rt△ABC中∠C=
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