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学好高中数学，成就美好人生
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新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结
第四章指数函数与对数函数
【考纲要求】
序号
考点
课标要求
1
指数函数
①通过对有理数指数幂且为整数，且，实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
了解
②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
了解
③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
掌握
2
对数函数
①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数
理解
②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
掌握
③知道对数函数与指数函数互为反函数.
了解
3
二分法与求方程近似解
①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系
了解
②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
掌握
4
函数与数学模型
①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
理解
②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义。
理解
③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。
了解
4.1指数
知识点总结
4.1.1次方根与分数指数幂
一、次方根的概念与性质
1.次方根
（1）定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。
（2）次方根的性质
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。这时，的次方根用符号表示。
例如：，，。
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示。正的次方根与负的次方根可以合并写成。
注：负数没有偶次方根。
例如：
③的任何次方根都是，记作
2.根式
（1）根式的定义
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数
对于根式，应当注意以下几点：
①，且；
②当为奇数时，对任意都有意义；
③当为偶数时，只有当时才有意义。
（2）根式的性质
根据次方根的意义，可得
①
②当时奇数时，；当时偶数时，
二、分数指数幂
（1）我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
（3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义。
注：
（1）分数指数幂不可理解为个相乘，它只是根式的一种新的写法，这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已。
（2）指数的概念扩充到有理数指数后，为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定。
（3）注意幂指数不能随意约分，如，而在实数范围内无意义。
（4）负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数。
三、有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质。
（1）
（2）
（3）
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数，这样，就将指数幂中的的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，均有下面的运算性质。
（1）
（2）
（3）
注：
①根式化简时，把各个根式化为分数指数幂的形式，然后利用指数幂的运算性质化简.
②在利用分数指数幂进行根式计算时，结果需要统一形式，要么是根式形式，要么是分数指数幂的形式，不能二者都出现。
＊指数问题方法归纳＊
1.根式的化简问题
方法技巧：
（1）分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简求值；
（2）注意对和进行区分。
2.指数幂的求值与化简
方法技巧：
（1）分数指数幂运算的步骤：有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算（即乘方、开方），再进行乘除以及加减运算；
（2）在进行指数幂化简、求值时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，将其统一成分数指数幂形式，再利用运算性质进行化简、求值。对于底数，若是负数，则先确定符号，最后统一化为分数的形式，从而便于运算。
3.条件求值问题
方法技巧：
（1）一般要结合已知条件先化简，再求值。特别要注意隐含条件，运用整体代入以及平方差、立方差、完全平方、完全立
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