高等应用数学 课件 8.1 多元函数.ppt

********第8章多元函数微分法及其应用§8.1多元函数§8.2偏导数§8.3全微分§8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数§8.5多元函数的极值与最值§8.1多元函数一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、多元函数的概念第一节多元函数MultipleFunction以上两个例子的共同特点是：当两个变量在规定的范围内每取定一对数值时，按照确定的对应关系，另外一个变量总有唯一确定的值与之对应.第一节多元函数MultipleFunction二元函数z=f(x,y)在点的函数值记为：或例8.1.1已知求解求函数在(1,1)处的函数值课堂练习解我们把二元以及二元以上的函数统称为多元函数.第一节多元函数MultipleFunction一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，而二元函数的定义域通常则是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为该区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内的区域称为闭区域,不包括边界在内的区域称为开区域.如果一个区域总可以被包含在一个以原点为中心的圆域内，则称此区域为有界区域，否则称为无界区域．2.二元函数的定义域如果区域D可以被包含在某个以原点为圆心的圆内,则称D为有界区域;否则称之为无界区域.与一元函数类似，确定二元函数的定义域时，也分为两种情况：（1）当自变量和因变量具有实际意义时，我们以自变量的实际意义确定函数的定义域．（2）当函数是用一般解析式表达，自变量没有明确的实际意义时，我们以使自变量有意义的范围作为函数的定义域．xO例8.1.2求二元函数的定义域。解函数的表达式为偶次根式，要使函数有意义，自变量x,y应满足不等式所以函数的定义域为点集D在平面上表示以原点为圆心，1为半径的圆域（如右图所示），它是有界闭区域。例8.1.2求二元函数z=ln(x+y)的定义域.xO第一节多元函数MultipleFunction3.二元函数的几何意义设是定义在区域D上的一个二元函数，点集称为二元函数z=f(x,y)的图形.通常二元函数的图形是空间的一个曲面.二元函数z=1-x-y对应一个平面二元函数对应原点在原点，半径为R的上半球面第一节多元函数MultipleFunction二、二元函数的极限定义8.1.2设是xOy平面上的一个点，δ是某一正数，与点距离小于δ的点的全体，称为点的δ邻域，记作，即将去掉后的点集称为点的去心的δ邻域，记作，即1.邻域和去心邻域的概念第一节多元函数MultipleFunction2．二元函数的极限第一节多元函数MultipleFunction注：1.二元函数z=f(x,y)当时的极限为A，是指点(x,y)无论以任何方式趋于点时，f(x,y)都无限接近A.如果(x,y)以某一特殊方式，例如沿一条特定直线或曲线趋近于某一特定值，也不能判定函数的极限存在.2.反过来，如果当点(x,y)以不同方式趋于点时，f(x,y)趋向于不同的值，那么就可以判定函数z=f(x,y)当时的极限不存在.3.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.计算二重极限一般来说要比计算一元函数的极限更复杂也更困难，通常有以下几种计算方法：（1）利用变量替换转化为一元函数求极限，再利用如：两个重要的极限，等价无穷小代换等求极限．（2）若函数沿某条路径其极限不存在或沿不同的路径趋于不同的值，则可断定其极限不存在．解：令u=xy例8.1.4求极限求极限解课堂练习证令y=kx(k为常数），则显然，趋向数值随着k的不同而不同，故极限不存在.例8.1.5证明极限不存在.第一节多元函数MultipleFunct