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四省联考最难16题，若这样解析初一的学生也能听懂！

巧用对称原理简解四省联考按开关最少次数难题湖北武汉邹

生书

教育部命制2023年四省（吉林、黑龙江、安徽、云南）高考适应

性考试数学试卷（新II卷），简称“四省联考”。这套试卷最大的看

点之一是客观题中的第16题，这是一道情景问题，主要考查综合运用

数学知识和思想方法解决实际问题的能力。问题背景是著名的熄灯问

题（Lightsout），是一个非常简单且特殊的熄灯问题。解决此题主要

的数学知识是奇偶性和线性方程组的解法。本题非常规，背景新颖，

没有现成的解题套路可用，考生一脸懵逼不知如何入手，普遍叫难，

很难，难得找不着北。到底难在哪里？笔者认为主要体现在如下三难：

1.阅读理解难；2.化归转化难；3.解方程组难。

原题如下：

网上对此题的解法基本相同，都是设9个未知数，根据模2同余

列9个一次方程组成9元一次线性方程组，然后解方程组便可得出各

个开关的按动次数，从而得出结果。

必须设9个未知数吗？似乎这是不争的事情。其实不然，只设5

个未知数就可以搞定。下面笔者进行详细解析，试图突破“三难”，

并用对称性优化解题过程缩短解题长度,力图给出通俗易懂的解答与读

者朋友交流分享，相信初一的学生也可以看懂。

1.正确理解题意。在3×3开关阵列中，每个开关只有“开”和

“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致和所有相邻的开关改

变状态。所谓改变状态就是原来是“开”变成“关”，原来是“关”

变成“开”。所有相邻的开关是指开关阵列中这个开关的上下左右的

开关（如果有）。阵中的开关有三种位置：

（1）在角上的开关，共有4个。按角上的开关1次，包括这个开

关共有3个开关改变状态，如图1；

图1

（2）在边上的开关，共有4个，按边上的开关1次，包括这个开

关共有4个开关改变状态，如图2；

图2

（3）在心上的开关，即既不在边也不在角上的开关，只有1个，

它在中心，按这个开关1次，包括这个开关共有5个开关改变状态，

如图3。

图3

2.奇偶分析开关状态。每个开关的最后状态与按动开关的先后顺

序无关，只与相邻开关按动总次数的奇偶性有关，总次数为奇数状态

改变，总次数为偶数状态不变。

于是，为了使按开关的总次数最少，只需考虑每个开关按或不按，

即按动0次或1次。

3.认真观察，大胆猜想。观察开关阵发现，相对（1,1）处的开关

来说，（1,2）和（2,1）、（1,3）和（3,1）、（2,3）和（3,2）处的

开关地位平等对称，我们猜想：这3对开关，每对地位平等位置对称

的开关要么都按要么都不按。据此猜想，我们只需要设5个未知数来

表示5类开关按的次数。

3.由对称性，少设未知数。设（1,2）和（2,1）处的开关按的次数

为x,（1,3）和（3,1）处的开关按的次数为y,（2,3）和（3,2）处的开

关按的次数为z,(2,2)处的开关按的次数为m,(3,3)处的开关按的次数为

n.由上述分析知，这5个未知数的取值只能是0和1，0表示不按，1

表示按。

则开关阵各个开关按的次数如下表。

4.先轴后翼，先头后尾，列奇偶方程，并各个击破之。

因为要求只改变开关（1,1）的状态，所以开关（1,1）必按。依

题意，开关（1,1）及相邻开关的按动总次数为奇数，其余开关及相邻

开关的按动总次数均为偶数。

由对称性，先考察对称轴即对角线上的开关(1,1)(2,2)(3,3)及相邻

开关的按总次数。

角（1,1）处的开关及相邻开关的按动总次数：2x+1为奇数,符合

题意。

中心（2,2）处的开关及相邻开关的按动总次数：2x+2z+m为偶

数，所以m为偶数，则m=0.

角（3,3）处的开关及相邻开关的按动总次数：2z+n为偶数,所以

n为偶数，则n=0.

再考