线面垂直专题总结.doc

5如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．假设AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴．

∵平面ABC，平面ABC，

∴．∴平面APC．

∵平面PBC，

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直那么需从条件出发寻找线线垂直的关系．

6.空间四边形ABCD中，假设AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

证明：过A作AO⊥平面BCD于O

同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心

7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

证明：连结AC

AC为A1C在平面AC上的射影

8.如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

.证：取PD中点E，那么

9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠AED=60°，求证:AE⊥平面ABC

分析：

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：

∵FG∥BC，AD⊥BC

∴AE⊥FG

∴AE⊥BC

设AE=a，那么ED=2a

由余弦定理得：

AD2=AE2+ED2-2?AE?EDcos60°

=3a2

∴ED2=AD2+AE2

∴AD⊥AE

∴AE⊥平面ABC

10如图,在空间四边形SABC中,SA?平面ABC,?ABC=90?,AN?SB于N,AM?SC于M。求证:①AN?BC;②SC?平面ANM

分析:

①要证AN?BC,转证,BC?平面SAB。

②要证SC?平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC?AM,SC?AN。要证SC?AN,转证AN?平面SBC,就可以了。

证明:

①∵SA?平面ABC

∴SA?BC

又∵BC?AB,且ABSA=A

∴BC?平面SAB

∵AN平面SAB

∴AN?BC

②∵AN?BC,AN?SB,且SBBC=B

∴AN?平面SBC

∵SCC平面SBC

∴AN?SC

又∵AM?SC,且AMAN=A

∴SC?平面ANM

11如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：平面ABC⊥平面PBC

分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明：取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形

同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=a∴PD=a在ΔABC中AD=

=a∵AD2+PD2==a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

12.如图，直角BAC在外，，，求证：在内射影为直角。

证：如下图，、

为射影

确定平面

13以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

解：

面AEF

两个平面垂直例题解析

1．在三棱锥A—BCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有〔〕

A．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BCD

D．平面ABC⊥平面BCD

【解析】由AD⊥BC，BD⊥ADAD⊥平面BCD，面AD平面ADC

∴平面ADC⊥平面BCD．

【答案】C

2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，那么点A到平面A1BC的距离是〔〕

A．a B．a C．a D．a

【解析】取A1C的中点O，连结AO，∵AC=AA1，∴AO⊥A1C

又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又∵BC⊥AC∴BC⊥AO，

因AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离．解得：A1O=a【答案】C

3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，那么OP的长为