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最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出
关于动点的最值.
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但
最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动
轨迹并求出最值,为常规思路.
一、轨迹之圆篇
引例1:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?
考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径
MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:POAQ:AP1:2.
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,
由A、Q、P始终共线可得:A、M、O三点共线,
由Q为AP中点可得:AM1/2AO.
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.
第1页
引例2:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQAP.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P
点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.
考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑APAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO,且可得半径MQPO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
引例3:如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ90°且AP2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨
迹是?
【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP:AQ2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM2:1.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.
第2页
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”.
此类问题的必要条件:两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);
主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).
【结论】
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:
∠PAQ∠OAM;
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:
AP:AQAO:AM,也等于两圆半径之比.
按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”.
第3页
【思考1】:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边△APQ.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【思考2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.
考虑:当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹?
【练习】如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,
点C是MB的中点,则AC的最小值是_______.
【练习2】如图,在等腰Rt△ABC中,ACBC22,点P在以斜边AB为直径的半圆上,
M为PC的中点,当半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长为________.
第4页
【练习3】如图,正方形ABCD中,AB25,O是BC边的中点,点E是正方
形内一动点,OE2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、
CF.求线段OF长的最小值.
【练习】△ABC中,AB4,AC2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于
点O,则线段AO的最大值为_____________.
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