第5章地下水运动的基本微分方程及定解条件.doc

第5章地下水运动的根本微分方程及定解条件

水文地质系统概念模型确实定性数学模型由描述地下水运动的根本微分方程和定解条件所组成，也称定解问题。考虑地下水压缩和弹性，水体积变化而水质量不变，所以建立水质量的连续性方程，进而建立其根本微分方程。

为何根据水质量守恒定律，在单位时间内微小立方体内建立地下水运动的连续性方程？地下水水体中体积守恒吗？什么样的岩层中水体积守恒？

可见由质量守恒建立的渗流连续性方程〔地下水运动的连续性方程〕更具有普遍意义，它包括了潜水含水层、承压含水层及越流系统中水流运动的守恒原理。连续性方程表示出地下水任意点A到B的连续性。

5.1渗流连续性方程

依据质量守恒定律：在饱水含水层内选定小立方体：EQ△x?△y?△z=V0；依据质量守恒定律→单位时间内，流入与流出小立方体的质量变化=单位时间内，小立方体水质量的变化。

1、均衡单元体〔图5-1〕渗流进入的质量—渗流流出的质量，如在x方向：单位之间通过单位断面的渗流量为渗流速度vx；密度为ρ；ρ?vx为单位断面上的流量的质量，△y?△z为断面宽度，得到该方向上在△t时段内流入与流出水流质量的变化量。即

同理在y、z方向也得到相似方程。

因此，在三个方向净流入均衡体的质量为

〔*〕

图5-1多孔介质单元水均衡要素图

2、均衡单元体内在△t时段内的质量的变化量：n?△x?△y?△z为单元体中水的体积，乘以水的密度那么是水的质量，在△t时段内该体积水的质量变化为：

含水层在水平方向上连续分布，任一点和相邻点相互挤压，一般认为水头变化时，含水层垂向变形而水平方向不变形，得到：

〔**〕

〔*〕式=〔**〕式，方程两端同除以△t，且取△x→0，△y→0，△z→0，△t→0，得到渗流连续性方程式为。

(5-1)

该式表示考虑了水与饱和多孔介质垂向可压缩变形的，其均衡时段△t=1时，小立方体的地下水运动连续性方程。

5.2承压含水层的释水特征及弹性释水方程

分析承压含水层中水和多孔介质的压缩性，得知含水层释水量，主要由含水层中水的压缩—膨胀释放水量和骨架的压缩膨胀释水量组成。故此，确定水、多孔介质的压缩性方程。

含水层的释水特征

在承压含水层中，当水量增加含水层的厚度不变而测压水头增加，反之下降，分析承压含水层的这一变化，为含水介质中水的压缩性和多孔介质的压缩性。

见图2-2，为单位面积柱体，厚度为承压含水层的厚度〔M〕；测压水头为P/γ。

图5-2承压含水层介质中受力图

〔5-2〕

式中：m为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影；σs为颗粒应力的垂直分量。左端相σ为上部荷载的总压应力，在含水层内与之到达平衡的反向应力由两局部组成：其一是颗粒接触面上应力，即m?σs；其二是介质中水所承受的应力，即〔1—m〕p。实际上m是一个很小的百分数，σs却很大。由于m?1，定义mσs为σ′称为有效应力。由于,故〔5-2〕式改写为

〔5—3〕

因此，多孔介质总应力σ由有效应力σ/和孔隙水应力p两者与之相平衡。

如果在承压含水层中打井抽水〔或放水〕，首先，被压缩的水由于减压，弹性释放一局部水量，即孔隙水应力P减小，水体积膨胀释放出来的水量。其次，上部荷载不变，孔隙水应力减小的这局部应力转嫁到固体骨架压密变形，也释放出来一局部水量。第三，对于固体颗粒或者也会引起变形，相应释放水量。但是后者与前两项所释放出来的水量是不可相比，一般可忽略不计，即认为多孔介质的固体局部是不可变形的刚体。

孔隙含水层，尤其是细粒孔隙含水层，抽水〔或放水〕含水层水头〔或水位〕下降时，释放出来的水量与含水层水头〔或水位〕增大相同值时，含水层中压缩储存的水量是不相等的。所以有弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的局部为弹性变形，不能恢复的局部为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。

注意：〔1〕水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三种变形。〔2〕为何弹性储存与重力储存的不同？何为弹性变形、塑性变形？弱透水层中和潜水含水层中有没有弹性储存？

含水层水体压缩与膨胀方程

由上述分析，确定多孔介质固体颗粒为不可变形的刚性体，当含水层抽水或放水时所产生的水量，由两局部组成，一是水体积膨胀所释放出的水量；二是固体骨架压密所释放出来的水量。

我们也知道含水层〔体〕在同等水头或水位变化条件下，其释水量和储水量是不相等的，岩层的压缩与膨胀不仅不相等，而且是一个逐渐变化的过程。这种复杂情况是很难用数学式子表述。地下水中认为含水层〔体〕的储水与释水是弹性变形，是瞬时完成的，用虎克定律来描述。

所以有水的压缩性方程和多孔介质的压缩性方程，为了应用建立了水头与水压变化