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二次函数与线段问题(解析版)

二次函数与线段问题

例1、如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．

图1-1

【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．

由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．

图1-2图1-3

例2、如图，抛物线与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程．

图2-1

【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N．

二次函数与线段问题(解析版)全文共1页，当前为第1页。在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(,0)，N(4,1)．

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图2-2

例3、如图3-1，抛物线与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．

图3-1

【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．

由抛物线的解析式可以得到A(0,2)，B(3,6)．设P(x,0)．

绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得．此时P．

在△PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当点P在BA的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P．

图3-2图3-3

二次函数与线段问题(解析版)全文共2页，当前为第2页。例4、如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．

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图4-1

【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝．

这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．

图4-2图4-3图4-4

例5、如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．

图5-1

【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可以求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如图5-2）．

如图5-3，PB＋PA的最小值为AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．

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图5-2图5-3

例6、如图6-1，已知A(0,2)、B(6,4)、E(a,0)、F(a＋1,0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．

图6-1

【解析】在四边形ABEF中，AB、EF为定值，求AE＋BF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．

如图6-2，将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME．

如图6-3，作点A关于x轴的对称点A′，MA′与x轴的交点E，满足AE＋ME最小．

由△A′OE∽△BHF，得．解方程，得．

图6-2图6-3

例7、如图7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．

图7-1

【解析】如果把OB放在某一个三角形中，这个三角形的