解直角三角形讲义全.docx

..

.

.

24．1锐角三角函数

解直角三角形

锐角三角函数概念：

规定：在Rt△BC中，∠C=90，

∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．

B

斜边c∠A的对边a

斜边c

A C

在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，∠A的邻边b

记作sinA，即sinA==a． sinA＝?A的对边 ?a

c ?A的斜边 c

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，

记作 cosA，即 cosA=

?A的邻边 = a ；

斜边 c

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，

a

记作 tanA，即 tanA=

?A的对边

?A的邻边

=b ．

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求值．

sinA= cosA= B

tanA= sinB=

cosB= tanB=

sinA= cosA=

3

A 4 C

(1)

tanA= sinB=

cosB= tanB=

特殊角的三角函数值：

_B

_13_ _

_13

_C

_A

_(2)

Word格式

Word格式

..

.

.

Word

Word格式

30°

30°

45°

60°

siaA

cosAtanA

例2：求下列各式的值．

cos45?

（1）cos260°+sin260°． （2）sin45?

-tan45°．

练习：1、

2、计算：

解直角三角形：

在直角三角形中，除

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除

直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有以下等量关系

边角之间关系

b a b

sinA?c;cosA?c;tanA?b;cotA?a

a b a

sinB?

c;cosB?c;tanB?a;cotB?b

如果用??表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

sin????的对边；cos??

??的邻边；tan??

??的对边；cot??

??的邻边

斜边 斜边 ??的邻边 ??的对边

三边之间关系

锐角之间关系∠A+∠B=90°．

a2+b2

=c2

(勾股定理)

以上三点正是解直角三角形的依据．例3：在Rt△ABC中，∠C＝90°．

2(1)已知：a＝35，c?35

2

，求∠A、∠B，b；

3(2)已知：a?2 ，b?2，求∠A、∠B，c；

3

已知：

sinA?

2

3，c?6，求a、b；

已知：tanB?

3,b?9,求a、c；

2

已知：∠A＝60°，△ABC的面积S?12 3,求a、b、c及∠B．

仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

例4、如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮沿正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续沿正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．

（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

练一练：1、某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角

分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据： ≈1.41，

≈1.73）

2、如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170

海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）

例5、如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，在小道上测得如下数据：AB=60米，∠PAB=45°，∠PBA=30°．请求出小桥PD的长．

练一练：1、如图，A，B，C分别表示三所不同的学校，B，C在东西向的一条马路边，A学校在B学校北偏西15°方向上，在C学校北偏西60°方向上，A，B两学校之间的距离是1000米，请求出∠BAC的度数以及A，C两学校之间的距离．

2

2、如图，小明在楼顶 处测得对面大楼楼