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根底回忆
立体几何根底知识
一、平面的根本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
二、空间中线、面的位置关系
1.线线关系同面直线
公理4:平行于同一条直线的两条直线相互平行。
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
2.线面关系直线在平面内
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
3.面面关系两个平面平行
平行与垂直
一、直线、平面平行〔垂直〕的判定及其性质
1.平面与平面的位置关系有、两种情况.
2.直线和平面平行的判定
(1)定义:直线和平面没有公共点,那么称直线平行于平面;
(2)判定定理:a?α,b?α,且a∥b?;
(3)其他判定方法:α∥β;a?α?.
3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?.
4.两个平面平行的判定
(1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行;
(2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?;
5.两个平面平行的性质定理
(1)α∥β,a?α?;
(2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?.
6.与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α,b⊥α?;
(2)a⊥α,a⊥β?.
7.直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法.
②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也这个平面.
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面,那么垂直于平面内直线.
②垂直于同一个平面的两条直线。
③垂直于同一直线的两平面。
8.斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角.
9.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的,那么这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.
二、立体几何中的向量方法
1.直线的方向向量与平面的法向量确实定
(1)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,那么称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量,与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,那么求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a=0,,n·b=0.))
2.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,那么l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,那么l∥α或l?α?存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.
(3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,那么l∥α或l?α?v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,那么α∥β?u1∥u2.
3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,那么l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0.
(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,那么l⊥α?v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,那么α⊥β?u1⊥u2?u1·u2=0.
4.点面距的求法
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,那么B到平面α的距离d=eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
方法突破
▲知识点1:直线、平面平行的判定与性质
1.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点.求证:PB∥平面ACM.
注意:
利用判定定理时关键是找平面内与直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,假设没有,那么需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过直线作一平面找其交线.
2.如图,假设PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF∥平面PCE.
3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.
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