晶格振动与晶体的热学性质习题集.docx

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第三章 晶格振动与晶体的热学性质

什么是简谐近似？

解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

?mqa2

?

m

qa

2

解：由一维单原子链的色散关系??2

sin

，可求得一维单原子链中振动格波

的相速度为

而其群速度为

v ???a

?sin2

?sin2

qa

m

qa

2

………………（1）

v

v ?

g

d?

dq

?a

?

m

cos

qa

2

………………（2）

由（1）式和（2）式可做出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系

曲线如下图3.1所示：

v

A

2

-4B

-3B

-2B

-B

B

2B

3B

4B

q

1

图3.1

上图中A?a

?

m

，B??

a

。曲线

1代表v

???a

p q

?

m

sinqa

2

qa

，曲线 2代表

d?

v ?

g dq

2

?m?a cosqa。

?

m

2

由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但

?m当q?0时，v ?

?

m

p

为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长围含有若干个原子，

相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。

由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当q 0，

mv v a

m

g p

2am而

2a

m

p

，体现出弹性波的特征，当q处于第一布区边界上，即q 时，v 0，

a g

，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上

它是一种驻波。

周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，

q的取值将会怎样？

解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和部原子有所差别。考虑到边界对部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体相对应的原子的运动情况一样，

即第j个原子和第tNj个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。

什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯

坦统计，即具有能量为w

(q)的声子平均数为

j

n(q) 1

j ewj(q)/(kBT) 1

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？

解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒

子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。

晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？

解：我们知道晶体比热容的一般公式为

Bc (E)

B

k( )2

e /(kT) ()d

mV TV

m

B kT (e

0 B

/(kT)

B

1)2

由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数 ()。但是对于具体的晶体来讲，()的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，

假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出?(?)的表达式。

VV爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容c亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容c以指数形式趋近于零，快于实验给出的以T3趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T3成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜

V

V

温度? 应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度? 是不

温度

D D

同的。

在