届云南中考数学题型专项九圆的证明与计算含答案.docx

题型专项(九) 圆的证明与计算

圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等，都是考查的重点．

类型1与圆的基本性质有关的计算与证明

1．(2015·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.

如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．解：(1)连接OQ.∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB.

OP

在Rt△OBP中，∵tanB＝ ，

OB

∴OP＝3tan30°＝ 3.

在Rt△OPQ中，∵OP＝ 3，OQ＝3，

∴PQ＝ OQ2－OP2＝ 6.

(2)连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝ OQ2－OP2＝ 9－OP2，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP1 3

＝OB＝，2 2

3 3 3

∴PQ长的最大值为

9－（）2＝ .

2 2

2．(2013·玉溪)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；

(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)

1

解：(1)OF∥BC，OF＝BC.

2

理由：由垂径定理得AF＝CF.

∵AO＝BO，

∴OF是△ABC的中位线．

1

∴OF∥BC，OF＝BC.

2

1(2)连接OC.由(1)知OF＝.

2

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠D＝30°，∴∠A＝30°.

∴AB＝2BC＝2.

∴AC＝ 3.

1 3

∴S ＝×AC·OF＝ .

△AOC 2 4

∵∠AOC＝120°，OA＝1，

120×π×OA2 π

∴S ＝

扇形AOC

360

＝3.

π 3

∴S ＝S －S ＝ － .

阴影 扇形AOC △AOC 3 4

类型2 与圆的切线有关的计算与证明

3．(2016·云南模拟)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．

解：(1)证明：∵CD⊥AB，

∴∠CEP＝90°.

∴∠PCE＋∠P＝90°.

∵∠POC＝∠PCE，

∴∠POC＋∠P＝90°，即∠OCP＝90°.

∴PC是⊙O的切线．(2)∵∠POC＝∠PCE，∠P＝∠P，

∴△CEP∽△OCP.

CP EP

∴ ＝ .OP CP

R 2R

设半径为R，则OE＝，EA＝ .

3 3

∴CP2＝OP·EP.

2R

∴(R＋6)2－R2＝(6＋R)·(3＋6)．

解得R＝3(R＝0舍去)．

∴⊙O的半径为3.

4．(2016·永州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.

求证：CE是⊙O的切线；

若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．

解：(1)证明：连接OC.

∵BD是⊙O的切线，

∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°.

∵E是BD中点，

1

∴CE＝BD＝BE.

2

∴∠BCE＝∠CBE＝∠A.

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A.

∴∠ACO＝∠BCE.

∴∠BCE＋∠BCO＝90°，即∠OCE＝90°，CE⊥OC.

∴CE是⊙O的切线．(2)∵∠ACB＝90°，

∴AB＝ AC2＋BC2＝ 42＋22＝2 5.

BD BC 2 1

∵tanA＝ ＝ ＝＝，

AB AC 4 2

1

∴BD＝AB＝ 5.

2

1 5

∴CE＝BD＝ .

2 2

5．(2016·云南模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：DC是⊙O的切线；

(2)若∠A＝30°，AC＝2 3，求图中阴影部分的面积．

解：(1)证明：连接OC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠BCO＝90°.

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO.

∵∠A＝∠BCD，

∴∠ACO＝∠BCD.

∴∠BCD＋∠BCO＝90°.

∴DC是⊙O的切线．

(2)过点O作OE⊥AC于点E.

∵AC＝2 3，∴AE＝ 3.

∵∠A＝30°，

∴OE＝1，AO