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第一节计数原理
1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例,理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破
PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修
1.某市人民医院急诊科有3名男医生,3名女医生,内科有5名男医
生,4名女医生,现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名
女医生组成4人组,参加省人民医院组织的交流会,则所有不同的
选派方案有()A.180种B.56种C.29种D.15种解析:从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3=9种方案,
从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4=20种方案,根据分步乘
法计数原理,该医院总共有9×20=180种不同的选派方案,故选A.
2.毕业季,6位身高全不相同的同学拍照留念,站成前后两排各三
人,要求每列后排同学比前排高的不同排法共有()A.40种B.20种C.180种D.90种?
3.把5张不同的电影票分给4个人,每人至少一张,则不同的分法种数
为?.???2405
PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练
两个计数原理1.(2024·黄冈中学一模)甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾
数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定
(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通
行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车
最多只能用一天,则不同的用车方案种数为()A.5B.24C.32D.64
解析:5日至9日,即5,6,7,8,9,有3天奇数日,2天偶数
日,第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有23=8
(种);第二步安排偶数日出行分两类:第一类,先选1天安排甲
的车,另外一天安排其他车,有2×2=4(种);第二类,不安排甲
的车,每天都有2种选择,共有22=4(种),共计4+4=8(种).
根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数为8×8=64.
2.如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域
只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法有
()A.24种B.48种C.72种D.96种解析:分两种情况:①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,
E有2种,B,D有1种,有4×3×2×1=24(种);②A,C同色,
先涂A,C有4种,再涂E有3种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48
(种).故不同的涂色方法有48+24=72(种).
3.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平
行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶
点的平面构成的“平行线面组”的个数是?.解析:一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线
组成6个“平行线面组”,一共有6个面,共有6×6=36(个).长方
体的每个对角面有2个“平行线面组”,共有6个对角面,一共有
6×2=12(个).根据分类加法计数原理知共有36+12=48(个)平
行线面组.48
4.由0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成?个无重复数字
的四位偶数.解析:要完成的一件事为“组成无重复数字的四位偶数”,所以千
位数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中的四个
数字不重复.因此应先分类,再分步.第1类,当千位数字为奇数,即
取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,4,6中的任意一
个,百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字,十位数字不能
取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,420
不同的取法种数为3×4×5×4=240.第2类,当千位数字为偶数,即取
2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除千位数字外的任意一个偶数数字,百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字,十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,不同的取法种数为3×3×5×4=180.根据分类加法计数原理,可以组成无重复数字的四位偶数的个数为240+180=420.
练后悟通1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
2.涂色问题常用的两种方法
简单的排列与组合问题【例1】(1)(2023·全国乙卷7题)甲、乙两位同学从6种课外读
物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共
有()A.30种B.60种C.120种D.24
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