讲平面立体的投影.docx

第8讲 第三章立体的投影及表面交线

3-1 平面立体的投影及其表面取点

教学目标：

1、掌握平面立体如棱柱棱锥的作图方法；

2、掌握平面立体表面求点的方法；

教学重点：引导学生在掌握投影原理的基础上来求立体及其表面的点教学难点：利用辅助线求立体表面的点

教学手段：结合实例课堂讲解教学用具：多媒体

教学过程：

由于平面立体的表面四有若干个多边形平面所围成，因此，绘制平面立体的投影可归结为求它的各表面的投影。平面立体各表面的交线称为棱线。平面立体的各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点确定，因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制各棱线及各顶点的投影。作图时，应判别其可见性，把可见棱线的投影画成粗实线，不可见棱线的投影画成虚线。

一、棱柱

（一）棱柱的投影

图3-1所示为一正放（立体的表面、对称平面、回转轴线相对于投影面处于平行或垂直的位置）的正六棱柱直观图及投影图。正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面围成。顶面、底面分别由六条底棱线围成（正六边形）；每个侧棱面又由两条侧棱线和两条低棱线围成的（矩形）。

投影分析

正六棱柱的顶面、底面均为水平面，其水平投影反映顶面、底面的真形，且互相重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。

六个侧棱面其前后两个棱面为正平面，其水平投影重合，且反映真形；水平投影和侧面投影都积聚成平行于相应轴的直线。其余四个侧棱面都为铅垂面，其水平投影分别积聚成倾斜直线；正面投影和侧面投影均为类似形（矩形），且两侧棱面投影对应重合。由于六个侧棱面的水平投影均有积聚性，故与顶面、底面边线（底棱线）的水平投影重合。

棱线顶、底面各有六条底棱线，其总前、后两条为侧垂线，四条为水平线；而六条侧棱线均为铅垂线。它们的三面投影，请读者自行分析。

作图步骤

画正放棱柱（如正六棱柱）的投影图时，一般先画出对称中心线，对称线，再画出棱柱水平投影（如正六边形）；然后根据投影关系画出它的正面投影和侧面投影。应注意当棱线投影与对称重合（如图中棱线AAo侧面投影a〃a〃o）时应画成粗实线.

(二)棱柱表面上取点

在平面立体表面上取点,其原理和方法与平面上取点相同,由于正放棱柱的各个表面都处于特殊位置,因此,在其表面上取点均可利用平面投影积聚性作图,并表面可见性.例如,在增六棱柱表面上有一点M,已知其正面投影m〃,要作出水平和侧面投影(图3-2).由于点M的正面投影是可见的,所以点M必定的左前方的AaoBoB上(参阅3-1a).而该棱面的铅垂面,因此点M的水平投影m必在

该棱面有积聚性的水平投影aa%bb直线上,再根据投影关系由m’和(m)求出m’.由于棱面AAoBoB处于左前方，侧面投影可见，所以其上的点M的侧面投影也可见，它的水平投影（m）不可见。又如，已知点N的水平投影n，求n’和n〃.由于n可见,所以点N必定在顶面上,而顶面为水平面,其正面投影和侧面投影都具有积聚性.因此,(n’)、（n〃）也必分别在顶面的正面投影和侧面投影所积聚的直线上，均不可见。

二、棱锥

（一）棱锥的投影

图3-3所示为一正放的正三棱锥直观图及投影图。正三棱锥有地面和三个侧棱面围成。底面又由三条棱线围成（正三角形），三个侧棱面由三条侧棱线和三条底棱线围成（三个真形大小相等的等腰三角形）。

投影分析

正三棱锥底面△ABC为水平面，其水平投影△abc反映真形，正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线a′b′c′和a〃（c〃）b〃。

三个侧棱面中的左右两个侧棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，其三面投影均不反映真形，且侧面投影重合。

后侧棱面△SAC为侧垂面（因含侧垂线AC），其侧面投影积聚成斜向直线s〃a〃

（c〃）,正面投影△s′a′c′和水平投影△sac均不反映真形，且正面投影△s′a′c′与

△s′a′b′、△s′b′c′重合。

三个侧棱面△SAB、△SBC、△SCA的水平投影△sab、△sbc、△sca与底面

△ABC的水平投影△abc重合。

底面的三条底棱线中有两条是水平线AB和BC，一条是侧垂线AC；而三条侧冷县总，有两条是一般位置直线SA和SC，一条是侧平线SB，它们的三面投影，请读者自行分析。

作图步骤

画正放的正三棱锥的投影图是哦，一般可先画出底面的水平投影（正三角形）和底面的另两个投影（均积聚为直线）；再画出锥顶的三个投影；然后将锥顶和底面三个顶点的同面投影连接起来，即得正三棱锥的三面投影。也可先画出三棱锥（底面和三个侧棱面）的一个

投影（如水平投影），再依照投影关系画出另两个投影。

（二）棱锥表面上取点

在棱锥表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同，如果点在立体的特殊平面上，则可利用该