2024年高中数学联赛（重庆赛区）初赛真题（学生版+解析版） (2).pdf

重庆市2024年5月高中数学联赛初赛试题

考试时间：80分钟

一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

4

Z—.

1.已知复数z使得Z为纯虚数，则|z-1-i|最小值为.（其中i为虚数单位）

2.设函数⑴=2-2一、的反函数为尸尸⑴，则不等式F3T）|v1的解集为.

J1妨

3.若点22）关于直线V*对称点在圆3一2）2+》2=1上，则—.

4.在^ABC中，已知ABAC=2BCBA=3CACBf则最大角正弦值为.

q=1,―—=―gN*）

5.数列［%1满足anan+2,若+。2。3++。6。7=3,则。2024=

6.由七2，・，9这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不过60的圆排列的个数为

7.已知四面体A8CQ满足BC，BC1CD,AB=BC^CD^l且异面直线AQ与8C所成角为

6。°,则四面体ABCQ的外接球的体积为.

1-P

8.一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有概率消失，有3

1-p1—p

的概率保持不变，有3的概率分裂成两个，有3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会

发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不过a,则〃至多为

二、解答题:本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.已知函数f3）=lx-six,若两不相等的实数e（0,71）满足曲线y=f（x）在点（万/（初）和点

（工2，f（工2））处的切线斜率相等，求证:3）+•/（也）＞-2.

10.已知抛物线。：尸匚动线段A8在直线尸屈―3上以在A右侧），且1人可=2右.过A作。

的切线，取左边的切点为肱.过8作O的切线，取右边的切点为N.当时，求点A的横坐标.

11.设工1=3，也+1=山”+14-/2（心力）,求［吐+工2++境的值.（其中闵表示不过实数x

的最大整数.）

重庆市2024年5月高中数学联赛初赛试题

考试时间：80分钟

一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

4

z——.

1.已知复数z使得Z为纯虚数，则|z-l-i|的最小值为.（其中i为虚数单位）

【答案】2一扼##—Ji+2

【解析】

4

【分析】设z=x+yi,根据复数的除法运算求出z-一,再根据纯虚数的定义求出复数z对应的点Z的轨

z

迹方程，进而可得出答案.

【详解】设Z=x+yi（X,y不同时0且x,yeR）,

4

贝\\z--=x+yi-

zx+yi

4

因为z——为纯虚数,

Z

4%

X—=0y

x2+y2y^O

所以＜,所以〈或＜启。

4》x-Q

莉x2+y2=4

x

当y^O时，|