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重庆市2024年5月高中数学联赛初赛试题
考试时间:80分钟
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
4
Z—.
1.已知复数z使得Z为纯虚数,则|z-1-i|最小值为.(其中i为虚数单位)
2.设函数⑴=2-2一、的反函数为尸尸⑴,则不等式F3T)|v1的解集为.
J1妨
3.若点22)关于直线V*对称点在圆3一2)2+》2=1上,则—.
4.在^ABC中,已知ABAC=2BCBA=3CACBf则最大角正弦值为.
q=1,―—=―gN*)
5.数列[%1满足anan+2,若+。2。3++。6。7=3,则。2024=
6.由七2,・,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任意相邻两数之积均不过60的圆排列的个数为
7.已知四面体A8CQ满足BC,BC1CD,AB=BC^CD^l且异面直线AQ与8C所成角为
6。°,则四面体ABCQ的外接球的体积为.
1-P
8.一珍稀物种出现在地球,对每个珍稀生物,每天有如下事件发生:有概率消失,有3
1-p1—p
的概率保持不变,有3的概率分裂成两个,有3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会
发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不过a,则〃至多为
二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.已知函数f3)=lx-six,若两不相等的实数e(0,71)满足曲线y=f(x)在点(万/(初)和点
(工2,f(工2))处的切线斜率相等,求证:3)+•/(也)>-2.
10.已知抛物线。:尸匚动线段A8在直线尸屈―3上以在A右侧),且1人可=2右.过A作。
的切线,取左边的切点为肱.过8作O的切线,取右边的切点为N.当时,求点A的横坐标.
11.设工1=3,也+1=山”+14-/2(心力),求[吐+工2++境的值.(其中闵表示不过实数x
的最大整数.)
重庆市2024年5月高中数学联赛初赛试题
考试时间:80分钟
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
4
z——.
1.已知复数z使得Z为纯虚数,则|z-l-i|的最小值为.(其中i为虚数单位)
【答案】2一扼##—Ji+2
【解析】
4
【分析】设z=x+yi,根据复数的除法运算求出z-一,再根据纯虚数的定义求出复数z对应的点Z的轨
z
迹方程,进而可得出答案.
【详解】设Z=x+yi(X,y不同时0且x,yeR),
4
贝\\z--=x+yi-
zx+yi
4
因为z——为纯虚数,
Z
4%
X—=0y
x2+y2y^O
所以<,所以〈或<启。
4》x-Q
莉x2+y2=4
x
当y^O时,|
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