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北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题
2024年1月22日
uuuuum
1.钝角面积为右,A3=4,AC=fl求ABAC值
2.四面体ABCQ体积为6,AB1BCBCLCD,AB=BC=CD=2^,求异面直线AQ与的夹
角
3.在正方形所在的平面内找一点P,使得qPBC,二PCD,二PDA均为等腰三角形,求尸
的个数
/2\100
、匹—11=。0+弓尤++a199x199+€Z200x200
4.设,求
2%—%—q+2%.+2。198—^199—。200的值
5.A,B,。为-仙°内角,x,y,z为实数,求以下三式中恒成立的个数.
%2+y2+z2-2yzsinA-2zxsinB+2xycosC0
x2+y2+z2-2yzsinA+2zxsinB-2xycosC0
x2+y2+z2+2yzsinA+2zxsinB-2xycosC0
6.中,求3sinA+4sinB+1sinC的最大值
7.在平面直角坐标系杞y中,方程+2y+l)(尤2y+3)表示椭圆,求初的取值范围.
.中,AB=3fBC=4,AC=5分别在AC,BC±各取一点O,E,使庞平分.ABC的面
积,求£也长度的最小值
9.M为正实数,满足Q+人+。=1,求Q+崩+撬最大值
£31-1
10.等差数列0}(心1)中,%°,公差d0,。30,求最大的正整数,使°.
11.首项是整数的等差数列,公差H=4,前〃项和S〃=2024,求所有〃值的和
12.复平面z‘+z=1与kl=l交点个数
13a,b,c,dwRa+b+c+d=10,求(屈京+应注+由京+扃茅)叽
14.整数列但,论°,E=1,对V心1有U“+Ki=g,*为固定正整数,求使〃2。24=2024成
立的个数
~10n~
——=2024
15.使L*」恰有2个整数解的正整数〃的值为・
[3
16.设++=%+句”+乌+4应,a〃,bn,Cn,d〃Z+,则票如,=
17.用6种不同颜色染正方体的6个面,不同面颜色不同,正方体旋转后颜色相同认为是同种染色,则染色
的种数有多少?
1.XeR,/(x)=[2x\+[4x]+[6x\+[8x],则不超过2024正整数中可以作为⑴函数值的个数为
19.从1,2,…,2024中任取两数。,》(可以相同),则3+7个位为8的概率
北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题
2024年1月22日
ULULUUIU
1.钝角面积为后,AB=4,AC=1,求AB-AC的值
【答案】2或一2
【解析】
【分析】根据三角形面积公式和向量的数量积公式计算可得结果.
【详解】因为5aasc=-AB•ACsinA=2sinA=^3,解得sinA=^,
22
兀I~oIj-i—1+13—16J]3
若人=—,则=J42+l2-2x4xlx-=V
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