3.2.1+单调性与最大（小）值（第1课时+函数的单调性）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

第三章函数的概念与性质;1.理解增函数和减函数的定义.

2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.

3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.;基础落实·必备知识一遍过;知识点函数单调性的概念;2.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间叫做y=f(x)的单调区间.?

函数的局部性质

名师点睛

1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可能是整个定义域,也可能是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.

2.对于单独一点,由于它对应的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.;思考辨析

若定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)在R上就是增函数吗?;自主诊断

1.若函数f(x)=ax-3在R上单调递增,则a的取值范围为.?;重难探究·能力素养速提升;探究点一确定函数的单调区间;(2)函数y=x2+x+2,x∈(-5,5)的单调递减区间为();(3)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是()

A.[-1,0] B.[-1,0]和[1,+∞)

C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]和[0,1];规律方法1.一次、二次函数及反比例函数的单调性.

(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k0时,该函数在R上是增函数;当k0时,该函数在R上是减函数.

(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=-为分界线.;(3)反比例函数y=(k≠0)的单调性如下表所示.;变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.;探究点二证明函数的单调性;规律方法利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤;特别提醒作差变形的常用技巧

(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.

(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.

(3)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.;(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断这个函数在(-∞,-2)上的单调性并证明.;故函数f(x)的定义域为{x|x≠-2}.

(2)f(x)在(-∞,-2)上单调递增.证明如下:;探究点三函数单调性的应用;★★【例3—2】函数f(x)的定义域为R,且对于任意x1,x2∈R(x1≠x2)均有

0成立,若f(1-a)f(2a-1),则正实数a的取值范围为();规律方法函数单调性的应用问题的解题策略

(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.

(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.;变式训练3(1)已知f(x)是定义在(-∞,0]上的增函数,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)3的x的取值范围是();C;解析由题意得当x≥0时,f(x)=-x2,

则函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(x)≤f(0)=0,

当x0时,f(x)=x2,

则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(x)f(0)=0,

所以函数f(x)在R上是减函数,;(3)已知g(x)的定义域是[-2,2],且在区间[-2,2]上单调递增,g(t)g(1-3t),求t的取值范围.;角度2.根据函数单调区间或单调性求参数取值范围

【例3—3】函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是();规律方法含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的子集,即I?D.;变式训练4如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是()

A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)

C.(-∞,5] D.[5,+∞);角度3.含参数的分段函数的单调性问题

【例3—4】已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是()

A.[1,+∞) B.(1,+∞)

C.[2,+∞) D.(2,+∞);规律方法判断