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保密★启用前
2025届新高三学情摸底考02(新课标卷)
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合,则的元素的个数为
A. B. C. D.
2.(????)
A. B. C. D.
3.已知向量,若与方向相反,则=(????)
A.54 B.8 C. D.
4.已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程为(????)
A. B.
C. D.
5.已知在点处的切线的倾斜角为,则(????)
A. B. C.2 D.
6.点的直线中,被圆截得的最长弦所在的直线方程为(????)
A. B.
C. D.
7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,它是一种绕一个支点高速转动的刚体,种类很多,其中有一种金属陀螺(如图),它的形状可以认为是上半部分为圆柱,下半部分为倒置的圆锥;现知尖底长为3,柱体与锥体部分高之比,底周长为,则陀螺的表面积为()
A. B. C. D.
8.已知,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于、两点,若,则双曲线的渐近线方程为(????)
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.在下列关于概率的命题中,正确的有(????)
A.若事件A,B满足,则A,B为对立事件
B.若事件A与B是互斥事件,则A与也是互斥事件
C.若事件A与B是相互独立事件,则A与也是相互独立事件
D.若事件A,B满足,,,则A,B相互独立
10.已知函数,则下列说法正确的是(????)
A.若函数的最小正周期为,则其图象关于直线对称
B.若函数的最小正周期为,则其图象关于点对称
C.若函数在区间上单调递增,则的最大值为2
D.若函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是
11.已知函数,则下列说法正确的有(????)
A.若,则的值域为
B.若,则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C.存在,使得有三个零点
D.若,则的取值范围为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,若满足的五位数有个,则在的展开式中,的系数是.(用数字作答)
13.在中,角所对的边分别为,若,则.
14.已知椭圆的方程为,,为椭圆的左右顶点,为椭圆上不同于.的动点,直线与直线,分别交于,两点,若,则过,,三点的圆必过轴上不同于点的定点,其坐标为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,已知所有学生的竞赛成绩均位于区间,从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本,绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值,并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)利用比例分配的分层随机抽样方法,从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人,求至少有1人竞赛成绩位于区间的概率.
16.(15分)已知数列是各项均为正数的等比数列,前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,为数列的前项和,求.
17.(15分)在四棱锥中,为正三角形,平面平面ABCD,E为AD的中点,,,.
(1)求证:平面平面PAD;
(2)在棱CD上是否存在点M,使得平面PBE?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
18.(17分)已知动圆C的圆心在x轴上,且经过点,动圆C与x轴的另一个交点为A,与y轴的一个交点为B,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,两条垂线交于点M.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)设点M的轨迹为E,曲线E上一点,过点P的直线PS,PT交曲线E于S,T两点,且PS⊥PT,求证:直线ST过定点,并求出定点坐标.
19.(17分)给出以下三个材料:①若函数可导,我们通常把导函数的导数叫
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