初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习专题强化2 不等式恒成立、能成立问题（教师版）.pdf

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强化专题不等式恒成立、能成立问题

【方法技巧】

在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结

合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．

一、“Δ”法解决恒成立问题

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(1)如图①一元二次不等式ax＋bx＋c0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax＋bx＋c0(a≠0)的解集为

a0，

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R⇔二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔y0⇔

min

Δ0.

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(2)如图②一元二次不等式ax＋bx＋c0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax＋bx＋c0(a≠0)的解集为

a0，

2

R⇔二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔y0⇔

max

Δ0.

二、数形结合法解决恒成立问题

结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求

解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．

三、分离参数法解决恒成立问题

通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．

四、主参换位法解决恒成立问题

转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．

五、利用图象解决能成立问题

结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．

六、转化为函数的最值解决能成立问题

能成立问题可以转化为my或my的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．

minmax

【题型目录】

一、“Δ”法解决恒成立问题

二、数形结合法解决恒成立问题

三、分离参数法解决恒成立问题

四、主参换位法解决恒成立问题

五、利用图象解决能成立问题

六、转化为函数的最值解决能成立问题

【例题详解】

一、“Δ”法解决恒成立问题

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1(a2)x4(a2)x120Ra

．不等式的解集为，则实数的取值范围是（）

A．a|1a2B．a|1a2

C．a|1a2D．a|1a2

【答案】B

【分析】分类讨论a2和a2两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.

a2120R

【详解】当时，原不等式为满足解集为；

当a2时，根据题意得a20，且16(a2)24(a2)(12)0，解得1a2．

aa|1a2

综上，的取值范围为．

B

故选：．

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2．若关于的一元二次不等式2xkx0对于一切实数都成立，则实数满足（）