二次函数(知识精讲).docVIP

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考点16二次函数

【知识梳理】

知识点一、二次函数的定义

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．

备注：

如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．

a的绝对值越大，抛物线的开口越小．

知识点二、二次函数的图象与性质

1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中，；⑤．（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：

2．抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点．

(1)a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

(2)平行于y轴(或重合)的直线记作x=h．特别地，y轴记作直线x=0．

3．抛物线中，a，b，c的作用：

(1)a决定开口方向及开口大小；

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线的对称轴是

直线，

故：①b=0时，对称轴为y轴；②(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③

(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧．

(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置．

当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点(0，c)：

①c=0，抛物线经过原点；②c0，与y轴交于正半轴；③c0，与y轴交于负半轴．

4．用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式．

(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．

(可以看成的图象平移后所对应的函数．)

(3)交点式：已知图象与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．

知识点三、二次函数与一元二次方程的关系

函数（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根．

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

知识点四、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题．

备注：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．

【例题精讲】

1、(2018浙江宁波)如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）

A． B．

C． D．

2.已知函数y使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为______．

3.(2018湖南岳阳)抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）

A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）

4．（2018贵州黔西南州）已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是______．

x

…

－1

0

1

2

…

y

…

0

3

4

3

…

5.（2018山东青岛）已知一次函数yx+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）

A． B．

C． D．

6.（2018四川资阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①1；②ac+b+1＝0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

7.（2018山东省烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）

B(3，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②（