2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）第15讲 概率的进一步认识（原卷版）.pdf

第15讲概率的进一步认识

模块一思维导图串知识1．会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

2．能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测3．学会运用概率知识解决简单的实际问题.

知识点一、用树状图或表格求概率

1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树

形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能

的次数和方式，并求出概率的方法.

要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能

的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数

和方式，并求出概率的方法.

要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；

（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；

m

（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）.

n

知识点二、用频率估计概率

1.频率与概率的定义

频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.

m

概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

n

2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试

验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率

的近似值.

要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在

大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；

（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；

（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计

得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

3.利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为

精确.

考点一：列举法求概率

例1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前8

位，后三位是2，3，7三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是

（）

1111

A．B．C．D．

3694

【变式1-1】（2024·西藏日喀则·二模）现有条线段，长度依次是4,8,12,14，从中任选三条，能组成三角

4

形的概率是（）

1133

A．B．C．D．

42