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二阶线性常微分方程的幂级数解法

从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？

例1、求方程 y?xy?0的通解

解：设 y?a

0

ax?a

1 2

x2?…?a

n

xn?…

为方程的解，这里a

i

(i?0,1,2,…,n,…)是待定常系数，将它对x微分两次，有

将y，y的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到

???x??2?1a

2

?0 ，3?2a?a

3 0

?0, 4?3a ?a

4 1

?0, 5?4a?a

5 2

?0,

或一般的可推得

0a3ka ?2?3?5?6? ?(3k?1)?3k

0

a

3k

a

3k?1

? a ，

13?4?6?7? ?3k?(3k?1)

1

其中a，a

1 2

是任意的，因而代入设的解中可得：

这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数a

0

便是所要求的通解。

例6求方程y?2xy?4y?0的满足初值条件y(0)?0及y(0)?1的解。

及a）

1

解 设级数y?a

0

到

ax?a

1 2

x2?…?a

n

xn?…为方程的解。首先，利用初值条件，可以得

a ?0， a

0 1

?1，

因而

将y，y，y的表达式带入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到

因而最后得

a ?1? 1

?1 , a

?0,

2k?1

k (k?1)! k! 2k

对一切正整数k成立。

i将a (i?0,1,2, )的值代回y?a

i

0

ax?a

1 2

x2?…?a

n

xn?…就得到

这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何 ?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

考虑二阶齐次线性微分方程

及初值条件y(x

0

)?y

0

及y(x

0

)?y

0

的情况。

不失一般性，可设x

0

?0，否则，我们引进新变量t?x?x

0

，经此变换，方程的

形状不变，在这时对应于x?x

0

的就是t

0

?0了，因此，今后我们总认为x

0

?0。

定理10 若方程d2y

dx2

p(x)dy

dx

q(x)y?0中系数p(x)和q(x)都能展成x的幂级数，

且收敛区间为

|x|?R

，则方程d2y

dx2

p(x)dy

dx

q(x)y?0有形如

的特解，也以|x|?R为级数的收敛区间。

在上两例中方程显然满足定理的条件，系数?x，?2x和?4可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程

这里n为非负常数，不一定是正整数，（d2y

p(x)dy

?q(x)y?0）在此p(x)?1，

dx2 dx x

q(x)?1?n2

x2

，显然它不满足定理10的条件，因而不能肯定有形如

y??

?n?0

?

a xn

n 的特

解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。

定理11 若方程d2y

dx2

p(x)dy

dx

q(x)y?0中系数

p(x)

，q(x)

具有这样的性质，即

xp(x)和x2q(x)均能展成x的幂级数，且收敛区间为|x|?R，若a

0

?0，则方程

?d2y?p(x)dy?q(x)y?0

?

有形如

y?x?? axn

dx2 dx

即

n

n?0

的特解，?是一个特定的常数，级数

y??

n?n?0

n

?

a xn??也以|x|?R为收敛区间。若

?0

0

，或更一般的，?

i

?0(i?0,1,2 ,m?1)

，但a

m

?0，则引入记号????m，

?a

k

，则

m?k

y?x???

n?m

axn

n

?x??m??

k?0

a xk