应用概率统计（第二版）第3章 二维随机变量及其分布.pptxVIP

第3章二维随机变量及其分布3.1二维随机变量的联合分布3.23.33.4二维随机变量的边缘分布随机变量的独立性二维随机变量函数的分布

3.1二维随机变量的联合分布

3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质设X和Y为两个随机变量,则称有序数组(X,Y)为二维随机变量.二维随机变量的研究与一维随机变量非常类似,重点仍然是研究它的分布函数.设二维随机变量(X,Y),对任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为(X,Y)的联合分布函数,简称分布函数.其中(X≤x,Y≤y)为事件{X≤x}∩{Y≤y}的简写.定义3-1从几何上看,(X,Y)表示平面直角坐标系中随机点的坐标,设(x,y)表示坐标系中的任一点,那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值表示随机点落在以(x,y)为顶点的左下方无穷矩形域上的概率(图3-1).

3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质由分布函数的几何意义可以得出,对任何x1≤x2,y1≤y2,有P(x1X≤x2,y1Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)它表示随机点落在区域D内的概率(图3-2)

3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质可以证明分布函数具有以下的性质:F(x,y)对x或y都是不减函数,即对任意y,若x1≤x2,则F(x1,y)≤F(x2,y);对任意x,若y1≤y2,则F(x,y1)≤F(x,y2).对任意的x,y,F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.F(x,y)分别关于x,y右连续,即有F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(矩形法则)对任何x1≤x2,y1≤y2,有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0

3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质【例3-1】已知F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)(x,y∈R)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.求常数A,B,C.

3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质

3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律定义3-2设(X,Y)为二维离散型随机变量,其所有可能的取值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),称P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律.根据概率的性质,pij具有以下性质:(1)非负性pij≥0(i,j=1,2,…);【例3-2】一口袋中有三个球,它们依次标有数字1,2,2.从袋中任取一球后,不再放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字.求:(1)(X,Y)的联合分布律;(2)P(X≥Y);(3)P(X+Y≤3);(4)P(X=2).

3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律解(1)(X,Y)可能取的数组为(1,2),(2,1)和(2,2).下面先算出随机变量取每组值的概率.

3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律

3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数定义3-3设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的x,y∈R,有则称(X,Y)为二维连续型随机变量,并称f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数,简称联合密度(或概率密度).联合密度f(x,y)具有以下性质:(1)非负性f(x,y)≥0(x,y∈R);

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数由联合密度函数的定义还可以得到如下性质:(1)F(x,y)是二元连续函数;

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数【例3-4】设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为求:(1)常数c;(2)P(X≥Y).

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数1.二维均匀分布设D为平面有界闭区域,其面积为SD,若密度函数为则称二维随机变量(X,Y)服从D上的均匀分布.若G为D的子区域,面积为SG,则由二维随机变量求概率的公式得

3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数2.二维正态分布若随机变量(X,Y)的联合密度函数为则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布(其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ为常数,且有σ10,σ20,|ρ|1).记为特殊地,当μ1=μ2=0,σ1=σ2=1时更特殊地,当ρ=0时,则有

3.2二维随机变量的边缘分布