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2013 考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-
主讲:汤家凤
一、基本概念
第一讲 行列式
定义1逆序—设i,j是一对不等的正整数,若i?j,则称(i,j)为一对
逆序。
定义2逆序数—设ii?i
12 n
是1,2,?,n的一个排列,该排列所含逆序总数
称为该排列的逆序数,记为?(ii
12
?i),逆序数为奇数的排列称为奇排
n
列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。
a a ? a
11 12 1n
定义3行列式—称D?a21 a22 ?
? ? ?
a2n称为n阶行列式,规定
?
a a ? a
n1 n2 nn
1D? ? (?1)?(jjj?j
1
j?j)
aa2 n
a
a
1j 2j
1 2
?a 。
nj
n
12 n
a a ? a
11 12 1n
定义4余子式与代数余子式—把行列式D?a21 a22 ?
? ? ?
a2n中元素
?
a a ? a
n1 n2 nn
a 所在的i行元素和j列元素去掉,剩下的n?1行和n?1列元素按照元
ij
素原来的排列次序构成的n?1阶行列式,称为元素a
ij
的余子式,记为
M ,称A
ij ij
?(?1)i?jM
ij
为元素a
ij
的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式
a
1
0 ? 0
21、对角行列式—形如0 a ? 0 称为对角行列式,
2
? ? ? ?
0 0 ? a
n
a 0 ? 0
1
0 a ?
2
0 ?aa?a 。
? ? ? ? 1 2 n
0 0 ? a
n
a a ? a
及11 12 1n
及
a 0 ? 0
11
2、上(下)三角行列式—称 0
a ? a a a ?
22 2n 21 22
0 为上
? ? ? ? ? ? ? ?
0 0 ?
a
a a a ? a
nn n1 n2 nn
a ? a
11 12
22( 下 ) 三 角 行 列 式 , 0 a ?
22
1n
a2n ?a a ?a ,
? ? ? ?
0 0 ? a
11 22 nn
a 0 ?
11
a a ?
21 22
nn
0
0 ?a a ?a 。
? ? ? ?
a a ? a
n1 n2 nn
11 22 nn
3、A O
O B
?|A|?|B|,A C
O B
?|A|?|B|,A O
C B
?|A|?|B|。
4、范得蒙行列式—形如
V(a,a
1 2
,?,a)?
n
1
a
1
?
an?1
1
1 ?
a ?
2
? ?
an?1 ?
2
1
a
n
?
an?1
n
称为n阶范
1 1 ? 1
得蒙行列式,且V(a,a
,?,a
a
)? 1
a ? a
2 n
? ? (a
a)。
1 2 n
?
an?1
1
? ?
an?1 ?
2
?
an?1
n
i j
1?j?i?n
【注解】V(a,a
1 2
,?,a
n
)?0的充分必要条件是a,a
1 2
,?,a
n
两两不等。
三、行列式的计算性质
(一)把行列式转化为特殊行列式的性质
1、行列式与其转置行列式相等,即D?DT。
2、对调两行(或列)行列式改变符号。
3、行列式某行(或列)有公因子可以提取到行列式的外面。
推论1行列式某行(或列)元素全为零,则该行列式为零。推论2行列式某两行(或列)相同,行列式为零。
推论3行列式某两行(或列)元素对应成比例,行列式为零。
4、行列式的某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分
解 为 两 个 行 列 式 , 即
a a ?
a a a ? a
a a ? a
11
12
1n
11
12
1n
11
12
1n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a ?b
a ?b
?
a ?b
?
a
a
?
a
b
b
?
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。
i1 i1
?
i2 i2
?
?
in in
?
i1
?
i2
?
?
in
?
i1
?
i2
?
?
in
?
a
a
?
a
a
a
?
a
a
a
?
a
n1
n2
nn
n1
n2
nn
n1
n2
nn
5、行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,
即
a a ? a a
a ? a
11 12
? ? ?
a a ?
1n 11
? ?
a a ?ka
12
?
a ?ka
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