考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤.docx

2013 考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-

主讲：汤家凤

一、基本概念

第一讲 行列式

定义1逆序—设i,j是一对不等的正整数，若i?j，则称(i,j)为一对

逆序。

定义2逆序数—设ii?i

12 n

是1,2,?,n的一个排列，该排列所含逆序总数

称为该排列的逆序数，记为?(ii

12

?i)，逆序数为奇数的排列称为奇排

n

列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

a a ? a

11 12 1n

定义3行列式—称D?a21 a22 ?

? ? ?

a2n称为n阶行列式，规定

?

a a ? a

n1 n2 nn

1D? ? (?1)?(jjj?j

1

j?j)

aa2 n

a

a

1j 2j

1 2

?a 。

nj

n

12 n

a a ? a

11 12 1n

定义4余子式与代数余子式—把行列式D?a21 a22 ?

? ? ?

a2n中元素

?

a a ? a

n1 n2 nn

a 所在的i行元素和j列元素去掉，剩下的n?1行和n?1列元素按照元

ij

素原来的排列次序构成的n?1阶行列式，称为元素a

ij

的余子式，记为

M ，称A

ij ij

?(?1)i?jM

ij

为元素a

ij

的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式

a

1

0 ? 0

21、对角行列式—形如0 a ? 0 称为对角行列式，

2

? ? ? ?

0 0 ? a

n

a 0 ? 0

1

0 a ?

2

0 ?aa?a 。

? ? ? ? 1 2 n

0 0 ? a

n

a a ? a

及11 12 1n

及

a 0 ? 0

11

2、上（下）三角行列式—称 0

a ? a a a ?

22 2n 21 22

0 为上

? ? ? ? ? ? ? ?

0 0 ?

a

a a a ? a

nn n1 n2 nn

a ? a

11 12

22（ 下 ） 三 角 行 列 式 ， 0 a ?

22

1n

a2n ?a a ?a ，

? ? ? ?

0 0 ? a

11 22 nn

a 0 ?

11

a a ?

21 22

nn

0

0 ?a a ?a 。

? ? ? ?

a a ? a

n1 n2 nn

11 22 nn

3、A O

O B

?|A|?|B|，A C

O B

?|A|?|B|，A O

C B

?|A|?|B|。

4、范得蒙行列式—形如

V(a,a

1 2

,?,a)?

n

1

a

1

?

an?1

1

1 ?

a ?

2

? ?

an?1 ?

2

1

a

n

?

an?1

n

称为n阶范

1 1 ? 1

得蒙行列式，且V(a,a

,?,a

a

)? 1

a ? a

2 n

? ? (a

a)。

1 2 n

?

an?1

1

? ?

an?1 ?

2

?

an?1

n

i j

1?j?i?n

【注解】V(a,a

1 2

,?,a

n

)?0的充分必要条件是a,a

1 2

,?,a

n

两两不等。

三、行列式的计算性质

（一）把行列式转化为特殊行列式的性质

1、行列式与其转置行列式相等，即D?DT。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。

3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。

推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。

推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。

4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分

解 为 两 个 行 列 式 ， 即

a a ?

a a a ? a

a a ? a

11

12

1n

11

12

1n

11

12

1n

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

a ?b

a ?b

?

a ?b

?

a

a

?

a

b

b

?

b

。

i1 i1

?

i2 i2

?

?

in in

?

i1

?

i2

?

?

in

?

i1

?

i2

?

?

in

?

a

a

?

a

a

a

?

a

a

a

?

a

n1

n2

nn

n1

n2

nn

n1

n2

nn

5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，

即

a a ? a a

a ? a

11 12

? ? ?

a a ?

1n 11

? ?

a a ?ka

12

?

a ?ka