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高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题高考要求
圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整
重难点归纳
解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的
(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值
典型题例示范讲解
例1已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线Cy2=2ax上运动,MN为圆k
在y轴上截得的弦
试问MN的长是否随圆心k的运动而变化?
当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系?命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力知识依托弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识错解分析在判断d与R的关系时,x0的范围是学生容易忽略的
技巧与方法对第(2)问,需将目标转化为判断d=x0+
解(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圆k的半径R=|AK|=(x0-a)2+y0=
2222a2与R=x0+a的大小2x0+a22∴|MN|=2R2-x0=2x0+a2-x0=2a(定值)
∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0,∴y1y2=y02-a2
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项
∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a
又|MN|=|y1-y2|=2a,∴|y1|+|y2|=|y1-y2|
∴y1y2≤0,因此y02-a2≤0,即2ax0-a2≤0∴0≤x0≤
圆心k到抛物线准线距离d=x0+a2a2≤a,而圆k半径R=x0+a2≥a2
且上两式不能同时取等号,故圆k必与准线相交x2y2
+例2如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其mm-1
准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||
求f(m)的解析式;(2)求f(m)的最值命题意图本题主要考查利用解析几何的知识建立函
数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合
知识依托直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值错解分析在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点
技巧与方法第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||
化简第
问,利用函数的单调性求最值是常用方法
解(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)
a2
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±mc
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)?y=x+1?考虑方程组?x2,消去y得(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)y2
=1?+?mm-1
整理得(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2
∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=-2m2m-1
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB-xA|=2=(xB-xA)22,|CD|=2(xD-xC)
∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=|(xB+xC)-(xA+xD)|又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|-|CD||=|xB+xC|22=|
故f(m)=22m-2m|22=(2≤m≤5)2m1-2m22m,m∈[2,5]2m22m22,可知f(m)=12m2-m
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