高中数学北师大版选修23学案261 连续型随机变量 62 正态分布 含解析.docx

*§6 正态分布

连续型随机变量

正态分布

了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(难点)

认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点)

教材整理 正态分布

[基础·初探]

P P

P P

63 65

正态分布

在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的 ，这条曲线对应的函数称为X的 ．

若随机变量X的分布密度函数为f(x)＝ ，其中μ与σ分别是随机变量X的 与 ，则称X服从参数μ和σ2的正态分布，记作X～N(μ，σ2)．

1

【答案】 (1)分布密度曲线 分布密度函数 (2)σ ·

均值 标

2π

准差

正态曲线的性质

(1)函数图像关于直线 对称；(2)σ(σ0)的大小决定函数图像的 ；(3)P(μ－σXμ＋σ)＝ ；P(μ－2σXμ＋2σ)＝ ；P(μ－3σXμ＋3σ)＝ .

【答案】 (1)x＝μ (2)胖、瘦 (3)68.3% 95.4% 99.7%

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( )

正态曲线是一条钟形曲线．( )

离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．()

【解析】(1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．

√因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．

√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．

×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．若X～N(1,0.04)，则P(X＞1)＝ .

【解析】 由X～N(1,0.04)知，正态曲线关于直线x＝1对称，故P(X＞1)

＝0.5.

【答案】0.5

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：解惑：

疑问2：解惑：疑问3：解惑：

[小组合作型]

正态曲线及其性质

(1)如图2-6-1，曲线C1

：f(x)＝

1

12πσ

1

(x∈R)，曲线C

：φ(x)

12πσ22＝ (x∈R)

1

2πσ

2

2

图2-6-1

μ1＜μ2

曲线C1与x轴相交

σ1＞σ2

曲线C1，C2分别与x轴所夹的面积相等

(2)如图2-6-2是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的 ， ， .(填写序号)

图2-6-2

(3)如图2-6-3所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布密度曲线

的函数解析式，则总体随机变量的均值为 ，方差为 ．

图2-6-3

【精彩点拨】 着眼点：(1)方差的大小；(2)正态曲线的特征及意义；(3)参数的几何意义．

【自主解答】 (1)由曲线C1，C2对称轴的位置知，μ1＞μ2，由曲线C1瘦于C2知σ1＜σ2，由f(x)＞0知，曲线C1在x轴上方，故选D.

由0.25＜1＜4，得X，Y，Z对应的曲线分别是图中的①②③.

从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为1 ，

2 π

1 1

2 π所以μ＝20，2π·σ＝ ，解得σ＝2.

2 π

于是，正态分布密度曲线的函数解析式为：

φ (x)＝1 ·

μ，σ 2 π

，x∈(－∞，＋∞)．

总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝( 2)2＝2.

【答案】 (1)D (2)①②③ (3)20 2

利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：

?1?正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图像求μ；

?2?正态曲线在x＝μ处达到峰值 1 ，由此性质结合图像可求σ.

σ 2π

[再练一题]

16π1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)

1

6π

，则( )

A．μ＝2，σ＝3C．μ＝2，σ＝3

3B．μ＝3，σ＝2D．μ＝3，σ＝

3

【导学号

12π· 3【解析】 由

1

2π· 3

【答案】 C

，得μ＝2，σ＝3.

服从正态分布变量的概率问题

服从正态分布变量的