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第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(重点)
会应用两个计数原理解决简单的实际问题.(难点)
[基础·初探]教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分,完成下列问题.
两个计数原理的联系与区别:
原理
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同
把一个原始事件 事件来完成
点
与分类有关
与分步有关
每一步得到的只是 结果,任何一步都不可能
不同
点
每类方法都能 这件事,
它们是相互 的,且每一
这件事,缺少
次得到的都是最后结果,只需
都不可能完成这件事,只有
方法就可以完成这件
都完成了,才能完
事
成这件事
各类方法之间是互斥的,并列 各步之间是有关联的,不独立
各类方法之间是互斥的,并列 各步之间是有关联的,不独立
的,独立的
的
【答案】分解成若干个 完成 独立 一种 中间 独立地完成 任何一
步 各个步骤
1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为 .
【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2=24.
【答案】 24
2 ( )( )( ) .a+a+a b+b+b c+c+c+c
2 ( )( )( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4
【解析】 该展开式中每一项的因式分别来自a+a+a,b+b+b,c
1 2 3 1 2 3 1
3+c+c+c中的各一项.由a,a,a中取一项共 种取法,从b,b,b中
3
2 3 4 1 2 3 1 2 3
3取一项有 种不同取法,从c
3
1
,c,c,c
2 3 4
中任取一项共4种不同的取法.由分
步乘法计数原理知,该展开式共3×3×4=36(项).
【答案】 36
3.5名班委进行分工,其中A不适合当班长,B只适合当学习委员,则不同的分工方案种数为 .
【解析】 根据题意,B只适合当学习委员,有1种情况,A不适合当班长,也不能当学习委员,有3种安排方法,剩余的3人担任剩余的工作,有3×2×1
=6种情况,由分步乘法计数原理,可得共有1×3×6=18种分工方案.
【答案】 18
用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻,这样的四位数有 个.
【解析】 分三步完成,第1步,确定哪一个数字被使用2次,有3种方法;第2步,把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上,有3种方法;第3步,将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上,有2种方法.故有3×3×2
=18个不同的四位数.
【答案】 18
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:疑问2:解惑:
[小组合作型]
抽取
抽取(分配)问题
高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其
中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种
C.37种
B.18种
D.48种
甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己的贺卡,则不同取法的种数有 .
【精彩点拨】 (1)由于去甲工厂的班级分配情况较多,而其对立面较少,可考虑间接法求解.
(2)先让一人去抽,然后再让被抽到贺卡所写人去抽.
【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案,若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43-33=37(种).故选C.
(2)不妨由甲先来取,共3种取法,而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来
取,共3种取法,余下来的人,都只有1种选择,所以不同取法共有3×3×1×1
=9(种).
【答案】(1)C(2)9
求解抽取(分配)问题的方法
当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类加
法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
[再练一题]
1.3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?
【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;
第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得:
共有方法数N=5×4×3=60.
法二 (以盒子
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