平面直角坐标系到x,y轴距离相等这点的轨迹.pdf

平面直角坐标系到x,y轴距离相等这点的轨

迹

在平面直角坐标系中，我们可以通过绘制图形来描绘一个点的轨

迹。要找到平面直角坐标系中到x轴和y轴的距离相等的点的轨迹，

我们可以考虑使用几何方法来分析和解决这个问题。在本文中，我们

将深入研究这种点的轨迹。

首先，让我们来定义一下问题：我们要找到平面直角坐标系中到x

轴和y轴的距离相等的点的轨迹。换句话说，我们要找到满足条件|x|

=|y|的点的集合。

我们知道，到x轴和y轴的距离可以使用绝对值来表示，所以我

们可以将问题重新表述为：找到满足条件|x|=|y|的点(x,y)的集合。

首先，让我们来看一些简单的例子。当x和y都是正数时，满足

条件的点的集合形成了一条直线，穿过上半平面的第一象限和第四象

限。类似地，当x和y都是负数时，满足条件的点的集合形成了一条

直线，穿过下半平面的第二象限和第三象限。

现在让我们来看一下具体的证明。我们将分别考虑两种情况：x和

y都是正数，以及x和y都是负数。对于这两种情况，我们将使用不同

的方法来确定点的轨迹。

第一种情况，当x和y都是正数时，我们可以将条件|x|=|y|转

换为x=y。这意味着点(x,y)的坐标必须满足x=y。因此，点的轨

迹是所有坐标为(x,y)的点，其中x=y。这些点形成了一条直线，穿

过第一象限和第四象限。这条直线的斜率为1，截距为0。

第二种情况，当x和y都是负数时，我们可以将条件|x|=|y|转

换为x=-y。这意味着点(x,y)的坐标必须满足x=-y。因此，点的

轨迹是所有坐标为(x,y)的点，其中x=-y。这些点形成了一条直线，

穿过第二象限和第三象限。这条直线的斜率为-1，截距为0。

现在让我们来考虑第三种情况，其中x和y具有不同的符号。对

于这种情况，我们可以将问题分解为两个子问题：当x为正数且y为

负数时，以及当x为负数且y为正数时。

对于第一个子问题，当x为正数且y为负数时，我们可以将条件

|x|=|y|转换为x=-y。这意味着点(x,y)的坐标必须满足x=-y。

因此，点的轨迹是所有坐标为(x,y)的点，其中x=-y。这些点形成

了一条直线，穿过第二象限和第三象限。这条直线的斜率为-1，截距

为0。

对于第二个子问题，当x为负数且y为正数时，我们可以将条件

|x|=|y|转换为x=y。这意味着点(x,y)的坐标必须满足x=y。

因此，点的轨迹是所有坐标为(x,y)的点，其中x=y。这些点形成了

一条直线，穿过第一象限和第四象限。这条直线的斜率为1，截距为0。

综上所述，当x和y具有不同的符号时，满足条件|x|=|y|的点

的轨迹是两条直线，分别穿过第一象限和第四象限，以及第二象限和

第三象限。这两条直线的斜率分别为1和-1，截距均为0。

在平面直角坐标系中到x轴和y轴的距离相等的点的轨迹是一个

由两条直线组成的平面区域，其中一条直线过第一和第四象限，另一

条直线过第二和第三象限。这个区域称为坐标原点的周围区域，它包

括原点和符合条件的所有点。

总结起来，平面直角坐标系中到x轴和y轴的距离相等的点的轨

迹是由两条直线组成的平面区域。当x和y都是正数时，轨迹为一条

直线，穿过第一象限和第四象限；当x和y都是负数时，轨迹为一条

直线，穿过第二象限和第三象限