考研数三历年真题.docx

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

设y?f(lnx)ef(x),其中f可微,则dy???.

若函数f(x)?

1 ?

1?x2

?1f(x)dx,则?1

1?

1?x2

f(x)dx???.

差分方程y ?y

t?1 t

?t2t的通解为 .

若二次型f(x,x

,x)?2x2?x2?x2?2xx

txx

是正定的,则t的取值范围是 .

1 2 3

1 2 3

12 23

设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X,

,X 和Y, ,Y

分别是来自总体X和Y的简

X? ?X

1 9 1 9

单随机样本,则统计量U?

1

Y2?

1

9 服从

?Y2

9

分布(2分),参数为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

设函数f(x)??

1?cosx0

x5 x6

? ? ?sint2dt,g(x) ,则当x 0时,f(x)是g(x)

? ? ?

5 6

低阶无穷小 (B)高阶无穷小

(C)等价无穷小 (D)同阶但不等价的无穷小

(2) 若 f(?x)?f(x)(???x???) ,在 (??,0) 内 f?(x)?0 ,且 f?(x)?0 ,则在(0??, 内有

( )

(A) f?(x)?0,f?(x)?0 (B) f?(x)?0,f?(x)?0

(C) f?(x)?0,f?(x)?0 (D) f?(x)?0,f?(x)?0

设向量组? ,?,? 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )

1 2 3

?

1

?

??,?

2 2

??,?

??,?

3 3

??,?

??

1

?2? ??

1

?

2

?2?

2

,2?

3 1

?3?

2 3

,3???

1 2 2 3 3 1

(D)???

1 2

??,2?

3 1

?3?

2

?22?

3

,3?

1

?5?

2

?5?

3

设A,B为同阶可逆矩阵,则 ( )

AB?BA (B)存在可逆矩阵P,使P?1AP?B

(C)存在可逆矩阵C,使CTAC?B (D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ?B

设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P?X??1??P?Y??1??1,P?X?1?

2

?P?Y?1??

1

,则下列各式中成立的是 ( )

2

P?X?Y??1

2

P?X?Y??1

(C)P?X?Y?0??1 (D)P?XY?1??1

4 4

三、(本题满分6分)在经济学中,称函数

1? ?

1

Q(x)?A[?Kx?(1??)L?x]x

为固定替代弹性生产函数,而称函数

Q?AK?L1??

为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).

试证明：但x?0时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有

limQ(x)?Q.

x?0

四、(本题满分5分)

设u?f(x,y,z)有连续偏导数,y?y(x)和z?z(x)分别由方程exy?y?0和ex?xz?0所确定,求du.

dx

五、(本题满分6分)

一商家销售某种商品的价格满足关系 p?7?0.2x(万元/吨),x为销售量(单位：吨),商品的成本函数

C?3x?1(万元).

若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量；

t为何值时,政府税收总额最大.

六、(本题满分6分)

设函数f(x)在[0,??)上连续、单调不减且f(0)?0,试证函数

?1 x

?0F(x)??x?

?

0

??

tnf(t)dt, 若x?0,0, 若x?0,

在[0,??)上连续且单调不减(其中n?0).

七、(本题满分6分)

从点P(1,0)作x轴的垂线,交抛物线y?x2于点Q(1,1)；再从Q作这条抛物线的切线与x轴交于P