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章末分层突破
[自我校对]
①回归分析
②独立性检验
③相关系数
④相互独立事件
回归分析
回归分析
分析两个变量线性相关的常用方法：
(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|
越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
年龄和身高之间具有怎样的相关关系？
如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？(3)如果身高相差20cm，其年龄相差多少？
【精彩点拨】 本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．
1
【规范解答】 (1)设年龄为x，身高为y，则x＝14(3＋4＋…＋15＋16)＝
9.5，
1
y＝14(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.9857，
14 14 14
∑x2＝1491，∑y2＝252958.2，∑xy＝18990.6，14x y≈17554.1，
i
i＝1
14
i
i＝1
ii
i＝1
14
∴∑x2－14(x)2＝227.5，∑y2－14(y)2≈9075.05，
i
i＝1
14
i
i＝1
∑xy－14x y＝1436.5，
ii
i＝1
i＝114
i＝1
14
14
∑x2－14?x?2
i
∑y2－14?y?2
i
i＝1
i＝1
14
∑xy－14x y
ii
1436.5
＝227.5×9075.05≈0.9997.
因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．
14
∑xy－14x y
ii
14(2)由(1)得b＝i＝1
14
1436.5
＝227.5
≈6.314，
∑x2－14?x?2
i
i＝1
a＝y－bx＝131.9857－6.314×9.5≈72，
∴x与y的线性回归方程为y＝6.314x＋72.
因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)．
如果身高相差20cm，年龄相差20
≈3.168
≈3(岁)．
[再练一题]
6.314
次数
次数xi
成绩yi
x2
y2
xiyi
某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
作出散点图；
求出回归直线方程；
计算相关系数并进行相关性检验；
试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
【解】 (1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
列表计算：
i
i
30
30
900
900
900
33
34
1089
1156
1122
35
37
1225
1369
1295
37
39
1369
1521
1443
39
42
1521
1764
1638
44
46
1936
2116
2024
46
48
2116
2304
2208
50
51
2500
2601
2550
由上表可求得
x＝39.25，
y＝40.875，
?x
?x
2＝12656，
i
i＝1
8 8
?y2＝13731，?xy＝13180，
i ii
i＝1 i＝1
ii?8xy－8x y
ii
i＝1
∴b＝
8
≈1.0415，
i?x2－8x2
i
i＝1
a＝y－bx＝－0.00388，
∴回归直线方程为y＝1.0415x－0.00388.
计算相关系数r＝0.9927，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．
由上述分析可知，我们可用回归直线方程y＝1.0415x－0.00388作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测该运动员训练
47次和55次的成绩分别为49和57.
独立性检验
独立性检验
独立性检验问题的基本步骤为：
找相关数据，作列联表．(2)求统计量χ2.
(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可
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