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课后限时集训53
椭圆及其性质建议用时:45分钟
[A组基础巩固练]
一、选择题
1.(2019·北京高考)已知椭)的离心率则()
A.a2=2b2B.3a2=4b2
C.a=2bD.3a=4b
事
事
B
B[由题意,∴4a2-4b2=a2,
即3a2=4b2.故选B.]
2.已知方围是(
2.已知方围是()
B.(1,
B.(1,十一)
D.C.(1,2)
D.
C[由题意
解得1k2.故选C.]
3.椭圆C的一个焦点为F?(0,1),并且经过点则椭圆C的标准
方程为()
D[由题意可设椭圆C的标准方程
且另一个焦点为
0).]
4.
所以a=2,又c=1,所以b2=a2—c2=3.
故椭圆C的标准方程.故选D.]
4.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为()
A.√3-√2B.√3-1
C口
B[设椭圆的两个焦点为Fi,F?,圆与椭圆交于A,B,C,D四个不同的
点,设|FiF?|=2c,则|DFi|=c,|DF?l=√3c.由椭圆定义,得2a=|DF?I+|DF2I=√3c+c,
所以故选B.]
5.已知△ABC的顶点B,C在椭上,顶点A是椭圆的一个焦点,
且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()
A.2√3
C.4√3
B.6
D.12
C[由椭圆的方程得a=√3.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF
+|CF+|CA|=(|BAI+|BF)+(|CF+|CA|)=2a+2a=4a=4√3.1
二、填空题
6.已知椭)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且
短轴长为8,则椭圆的左顶点为
(-5,0)[∵圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,∴圆心坐标为(3,0),∴c=3.又b=4,∴a=√b2+c2=5.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的左顶点为(-5,
7.(2019.全国卷II)设F?,F?为椭圆C:的两个焦点,M为C上
一点且在第一象限,若△MF?F?为等腰三角形,则M的坐标为_*(3,√15)[不妨令Fi,F?分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=
√36-20=4.因为△MFiF?为等腰三角形,所以易知IFiM=2c=8,所以|F?M=
2a-8=4.设M(x,y),则
又因为点M在第
一象限,所以M的坐标为(3,√15).]
8.已知Fi,F?是椭圆的两个焦点,满足MF?·MF?=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
[满足MF?·MF?=0的点M的轨迹是以F?F?为直径的圆,若其总
在椭圆内部,则有cb,即c2b2,又b2=a2-c2,所以c2a2—c2,
即2c2a2,
所以
又因为0e1,
]所以
]
三、解答题
9.已知点P是圆F?:(x+1)2+y2=16上任意一点(Fi是圆心),点F2与点F?关于原点对称.线段PF?的垂直平分线m分别与PF?,PF?交于M,N两点.求点M的轨迹C的方程.
[解]由题意得F?(一1,0),F?(1,0),圆F?的半径为4,
且|MF?I=|MP|,从而|MF?|+|MF?I=|MFi|+|MP|=|PF?|=4|F?F?|,
所以点M的轨迹是以F?,F?为焦点的椭圆,
其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为√3,所以点M的轨迹方程
10.(2019.全国卷Ⅱ)已知F?,F?是椭圆C:)的两个焦点,
P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△P
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