大学物理学 量子力学三.pptVIP

*§20.1薛定谔方程(SchrodingerEquation)描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系首先由薛定谔得出，称为薛定谔方程。一．动量为P、能量为E的自由粒子的薛定谔方程的建立一维自由粒子物质波的波函数:第20章薛定谔方程分别对x和t求导（算符表示）*对一维自由粒子：可得一维自由粒子的薛定谔方程：整理后得能量E和动量p的算符表示：三维的：*一维自由粒子的薛定谔方程式中：称为拉普拉斯算符三维自由粒子的薛定谔方程二．薛定谔一般方程当粒子处在势场中时，粒子的能量：与上同样推导：非自由粒子的薛定谔方程引入哈密顿算符：薛定谔一般方程*三．定态薛定谔方程（StationaryStateSchrodingerEquation）一般地势场：当势场仅仅是空间坐标的函数时，相应的波函数可分解为：此时微观粒子所处的状态称为定态；波函数称为定态波函数。满足的方程即是定态薛定谔方程。薛定谔一般方程：*代入薛定谔一般方程：得（1）（2）两边同除=E*定态薛定谔方程定态波函数波函数必须是时间、坐标的单值、有限、连续函数，这称为波函数的标准条件。在整个空间粒子的概率分布是不随时间变化的，这就是定态（稳定的态）的含义。由(1)式可得：由(2)式可得：*量子力学处理问题的方法1.分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出薛定谔方程。2.求解?，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。3.由???2得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。*2.定态薛定谔方程:令：得阱内：§20.2一维定态问题一.一维无限深势阱中的粒子(ParticlesintheOne-dimensioninfinitepotentialwell)阱外：必有1.势函数(Potentialenergy)0xU(x)=0??aU*3.分区求通解（B?0）4.由波函数自然条件和边界条件定特解0xU(x)=0??a阱外：阱内：（这里：）(A和B系数待定)方程解：*(1)能量本征值（energyeigenvalues)得：能量取分立值,每一个值对应一个能级当时，量子化能量转为连续能量最低能量(零点能或基态)En能量或能级是量子化的能量本征值主量子数波动性(Principlequantumnumber)*(2)本征函数(eigenfunction)由归一化波函数求系数B：能量的本征函数含时的能量本征函数由每个本征函数所描述的粒子的状态称为粒子的能量本征态。归一化条件：*(3)概率密度当时，量子→经典从能级上看：*(4)势阱中粒子的动量粒子的德布罗意波长波长也是量子化的无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应于一个德布罗意驻波；并有相应的特定波长?n。两端是波节的情况——驻波(取实部）*例题设无限深势阱中粒子的一个量子态是基态和第一激发态的叠加态，而且粒子处于基态的概率为1/4，第一激发态的概率为3/4。求这一叠加态的概率分布。解：一维无限深势阱的基态和第一激发态的波函数为：由题处于各态的概率，可得叠加态的波函数为：此叠加态的概率分布为：*1．梯形势二、隧道效应(TunnelingEffect)定态薛定谔方程：0xU=U0U=0EU通解：通解：*特解：电子逸出金属表面的模型（E?U＝U0,衰减解）(E?U＝0,振动解）通解：?*2.隧道效应（势垒贯穿）(PotentialBarrierandTunneling)0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③入射能量EU0经典理论：粒子不能进入EU0的区域（动能0）和穿过势垒。将完全被弹回。量子理论：粒子可透入势垒。一维定态薛定谔方程：①区：②区：③区：*穿透概率：0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③待定常数，由问题的边界条件和归一化条件决定①区:波动形式②区:指