专题05 最短路径（原卷版）（人教版）.pdf

专题05最短路径的三种考法

类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）

例．在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点Ax轴正半轴上）.

（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.

①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；

②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM

的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

A(a,0)B(0,b)2

【变式训练1】如图所示，点，，且a，b满足(a-1)+|2b-2|=0．若P为x

轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，以线段PB为边构造等腰直角△BPE（P为顶

点），连接AE.

(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；

(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则AB、AE之间的位置关系为；并加以证

明；

(3)如图3所示，点Px轴上运动过程中，若AE所在直线与y轴交于点F，请直接写出F

点的坐标为，当OE+BE的值最小时，请直接写出此时OE与BE之间的数量关系.

【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点Ax轴

正半轴上）.

（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.

①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；

②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM

的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

类型二、几何图形中的最短路径问题

例1．如图，已知7AOB=24o，OP平分7AOB，OP=1，COA上，DOB上，EOP

上．当CP十CD十DE取最小值时，此时7PCD的度数为()

A．36oB．48oC．60oD．72o

例2．如图，在三角形△ABC中，7BAC=50o，AB=AC，BDTAC于D，M，N分别是

线段BD，BC上的动点，BM=CN，当AM十AN最小时，7MAD=.

【变式训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，

P是上BAC的平分线上一动点，连接PC，PD，则PC+PD的最小值为.

【变式训练2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分

线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则

CM+MD的最小值为()

A．8B．10C．12D．14

【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点DBF上，连接AD，

AD的