专题05 最短路径（解析版）（人教版）.pdf

专题05最短路径的三种考法

类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）

例．在平面直角坐标系中，B(2，2·)，以OB为一边作等边△OAB（点Ax轴正半轴上）.

（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD.

①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；

②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM

的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2·

【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD=∠AOC＝90°即可；

②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO

=2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,若△ABD

是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；

当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①

得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,若△ABD是等腰三角形，则

BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；

（2）作ON⊥AB于N，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和

勾股定理求出ON＝2·即可

.

【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，

∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB=∠CAD＝60°,

∴∠BAD=∠OAC，

△ABD和△AOC中，LOAC，

∴△ABD≌△AOC（SAS），

∴∠ABD=∠AOC＝90°,

∴AB⊥BD；

②解：存在两种情况：

当点D落在第二象限时，如图1所示：

作BM⊥OA于M，

∵B（22）

，，

∴OM＝2BM＝2·

，,

∵△OAB是等边三角形，

∴AO＝2OM＝4，

同①得：△ABD≌△AOC（SAS），

∴BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,

若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，

∴OC＝AB＝OA＝4，

∴C（0，﹣4）；

当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：

作BM⊥OA于M，

∵B（22·)

，,

∴OM＝2BM＝2·

，,

∵△OAB是等边三角形，

∴AO＝2OM＝4，

同①得：△ABD≌△AOC（SAS），

∴BD＝OC，∠ABD=∠OAC＝90°,

若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，

∴OC＝AB＝OA＝4，

∴C（0，4）；

综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；

（2）解：作ON⊥AB于N，作MN⊥OB于N，如图2所示：

∵△OAB是等边三角形，ON⊥AB，FB是OA边上的中线，

∴AN＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，

∵ON⊥AB，MN⊥OB，

∴MN＝MN，

∴N和N关于BF对称，此时OM+MN