专题04 角平分线模型（解析版）（人教版） .pdf

专题04角平分线模型的三种考法

类型一、角平分线上的点向两边作垂线

例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°,AD平分∠BAC，∠BDC＝60°,AB＝2，AC＝3，

则AD的长是.

【答案】5

【分析】过D作，DETAC，DFTAB交AB延长线于F，然后根据全等三角形的性质和30O

角直角三角形的性质即可求解.

【详解】过D作，DETAC，DFTAB交AB延长线于F，

∵AD平分7BAC，DETAC，DFTAB，

∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90O=∠DEA，

∵∠BAC十∠BDC十∠DCE十∠DBA=360O，

∠BAC=120O，∠BDC=60O，

∴∠DCE十∠DBA=180O，

∵∠DBF十∠DBA=180O，

∴7DCE=7DBF，

在△DEC和△DFB中，

∴△DEC≌△DFB(AAS)，

∴CE=BF，

在Rt△DEA和Rt△DFA中，

∴Rt△DEA≌△DFA(HL)，

∴AE=AF，

∵AE=AC-CE,AF=AB+BF，

∴AC-CE=AB+BF，

∴CE+BF=AC-AB=1，

∴CE=BF=，

∵AD平分上BAC，

∴∠ADF=180O-∠DAB-∠DFB=30O，

∴AD=2AF=5.

【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角

形.

【变式训练1】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分上ABC，

2上ACD＝上ABC+上BAC，已知上CAD＝43O，则上BDC=.

【答案】47。

【分析】过D作DE丄BC于E，DF丄AB于F，DG丄AC于G，依据DC平分上ACE，BD

平分上ABC，利用角平分线的性质，即可得到DF＝DG，进而得出AD平分上CAF．再根

据三角形外角的性质，即可得到上BDC=上BAC，进而得出结论.

【详解】如图所示，过D作DE丄BC于E，DF丄AB于F，DG丄AC于G，

∵BD平分上ABC，DE丄BC，DF丄AB，

∴DF＝DE，

∵2上ACD＝上ABC+上BAC，上ACE＝上ABC+上BAC，

∴上ACE＝2上ACD，

∴CD平分上ACE，

又∵DE丄BC，DG丄AC，

∴DE＝DG，

∴DF＝DG，

又∵DF丄AB，DG丄AC，

∴AD平分上CAF，

∵上CAD＝43O，

∴上CAF＝86O，上BAC＝94O，

∵上DCE是△BCD的外角，上ACE是△ABC的外角，

=上ACE—上ABC

=

=上BAC

故答案为：47。.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分

线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【变式训练2】已知：AD是△ABC的角平分线，且AD丄BC.

（1）如图1，求证：AB=AC；

（2）如图2，上ABC=30O，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延

FG

长线于点G，且上ABG=上ACF，连接.

①求证：上AFG=上AFC；

②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长.

【答案】（1）见解；（2）①见解析；②6.

【分析】（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB＝AC；

（2）①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用SAS证明△FAG≌△FAE，即得

上AFG=