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立体几何解答题(1)
1、如图,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱AB、BC的中点。
(Ⅰ)证明:平面MNB1⊥平面BDD1B1
(Ⅱ)求点B到平面的距离。
(Ⅰ)证明:且
又平面MNB1⊥平面BDD1B1
(Ⅱ)解:设点B到平面的距离为,则三棱锥的高等于。
=,=
∴,即点B到平面的距离为
2、已知四棱锥的底面是边长为4的正方形,
,分别为中点。
(1)证明:;(2)求三棱锥的体积。
解:(1)
又底面是正方形,故相交故
(2),故两点到平面的距离相等
故
设中点,则且,又
故,又
故
3、如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,于点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成的角的余弦值.
(1)证明:∵平面,平面,∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面∴,
∵,,平面,
平面,∴平面.
∵平面,∴.
(2)解:由(1)知,,又,
则是的中点,在Rt△中,得,
在Rt△中,得,∴.
设点到平面的距离为,由,
得.解得,
设直线与平面所成的角为,则,∴.
∴直线与平面所成的角的余弦值为.
4、如图,三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是EQ\r(3),D是AC的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【解】:(1)正三棱住,底面ABC,又BDAC,
,平面,又平面D
平面D平面
(2)作AM,M为垂足,由(1)知AM平面,设与相交于点P,连接MP,则就是直线与平面D所成的角,
=,AD=1,在RtD中,=,,,
直线与平面D所成的角的正弦值为
5、如图所示,∥.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?证明你的结论.
【解】
(Ⅰ)
(Ⅱ)取棱的中点为,则有∥平面.证明如下:
取棱的中点为,
∥∥∥,因此四边形∥,所以∥平面.
6、如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱中,
,且,点是中点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,
求三棱锥的体积.
【解】(1)证明(略)
(2)由(1)可知,所以AC1与平面A1ABB1所成的角为,在,由,
=
7、已知四边形ABCD为矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥面ABCD.
(1)求证:PF⊥FD;
(2)设点G在PA上,且EG∥面PFD,试确定点G的位置.
【解】证明:(1)连接AF,在矩形ABCD中,
∵AD=4,AB=2,点F是BC的中点,
∴∠AFB=∠DFC=,∠AFD=,即AF⊥FD,
又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD,又∵AF∩PA=A,FD⊥面PAF,
∵PF面PAF,∴PF⊥FD
过E作EH∥FD交AD于H,则EH∥面AFD,且AH=AD,
过H作HG∥PD交PA于G,
则GH∥面PFD且AG=eq\f(1,4)PA,∴面EHG∥面PFD,则EG∥面PFD,
从而G点满足AG=eq\f(1,4)PA,及G点的位置在PA上靠近A点处的四等分点。
8、如图,三棱锥中,,,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.
【解】(Ⅰ)证明:在中,,,
,
又,且
,又
(Ⅱ)在三角形中,,,
,
由(1)可知:
在中,,
在中,,,故
设点C到平面ABD的距离为h,CA与平面ABD所成的角为
即AC与平面ABD所成的角的正弦值为
9、在边长为的菱形中,
.现沿对角线把△折起,折起后使的余弦值为.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面;
(Ⅱ)若是的中点,求三棱锥的体积。
【解】(Ⅰ)证明在菱形中,记,的交点为,,
∴,,翻折后变成三棱锥-,
在△中,
在中,
即
又平面
又平面平面平面
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