孤立奇点的分类课件.pptVIP

第6节解析函数的孤立奇点留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。一.孤立奇点及其分类定义1若在不解析，但在的某一去心邻域内解析，则称是的孤立奇点。

根据Laurent级数的形式分类：设为的孤立奇点,在的去心邻域内，的Laurent展式为:（1）为的可去奇点：若中无负幂项

（2）为(m级)极点：负幂项只有m项（3）为的本性奇点：负幂项无穷多项

根据的极限分类：定义2

性质1性质2例1求下列函数的奇点，并指出其类型：解：

解：

解

Laurent展式为:Laurent展式为:

有限个无穷个无负幂项负幂项负幂项

二.留数设为的孤立奇点,在的去心邻域内，的Laurent展式为:

留数计算法：

证明

2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m来计算。这是因为表达式的系数中可能有一个或几个为零而已，这不影响证明结果。

例2求下列函数的有限奇点并计算留数：解

无穷远点处的留数

例3求下列函数在无穷远处的留数：

解法1所以，0为的三级极点，且法2因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点，所以0是的三级极点，取m=4,由公式2得

三.留数定理由复合闭路定理,得定理1设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，L是D内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线，那么利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。

定理2如果函数在扩充的复平面内除有限个孤立奇点外解析，那么在所有各奇点（包括点总和必等于零,）的留数的即