正弦函数的图象和性质课件(共29张PPT).pptx

十四后蝴酮——同安胃區课堂《可职专丽)

数学

基础模块(上册)

第五章三角函数

5.3.1正弦函数的图象和性质

人民教育出版社

知识目标

理解正弦曲线的概念，认识正弦函数的图象及正弦函数图象的研究方法

能力目标

学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦函数的性质，学会正弦函数值域、

周期、最值、奇偶性、单调性的求解及其证明方法，提高学生的数学运算能力

情感目标

通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质

核心素养

通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、逻辑推理、数据分析、

数学建模的核心素养

学习目标

活动1创设情境，生成问题

问题情境c

根据正弦函数的定义可知，任意给定一个角α,唯—确定一个正弦值sinα.习惯上，我们用x表示角α的弧°度数(自变量),y表示因变量，于是正弦函数可记作

y=sinx,x∈R,

其中x表示角的弧度值函数的定义域是实数集R.

1.正弦函数的图象

下面我们利用单位圆中的正弦线，来作正弦函数的图象.

在平面直角坐标系的x轴上任取一点O₁,以O₁为圆

心作单位圆(图5-22),从这个圆与x轴的交点A起，把圆

分为12等份(等份越多，

作出的图象越精确).

调动思维，探究新知

活动2调动思维，探究新知

过圆上各分点分别作x轴的垂线，可以得到孤度为

0,π,π,π,….,2π的角的正弦线(例如O₁B是角的正弦

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线).相应地，再把x轴上0~2π这一段(取2π≈6.28)分成

12等份，每个分点分别对应于x=0,”,π,π,2π,分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，再用光滑的曲线把

这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]、

的图象.

2

活动2调动思维，探究新知

由于弧度值为x+k·2π的角与弧度值为x的角的终边相同，所以它们的正弦值相等，即

sin(x+k·2π)=sinx(k∈Z),

所以正弦函数y=sinx在x∈[-2π,0],x∈[2π,4π],

x∈[4π,6π]..时的图象与x∈[0,2π]的形状完全一样，

只是位置不同.

因此我们把y=sinx在x∈[0,2π]的图象，沿轴平

移±2π,±4π,…就可得y=sinx,x∈R的图象(图5-23).

正弦函数y=sinx,x∈R的图象称为正弦曲线

调动思维，探究新知

图5-23

O

活动2调动思维，探究新知

探索研究

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点?

由图5-23,可以看出下面五点：

(0,0),(”,1),(π,0),

在确定图象形状时起着关键的作用.这五点描出后，

正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状基本上就确定了.

活动2调动思维，探究新知

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出

这关键的五个点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到相应区间内的正弦函数的简图.

今后，我们作正弦函数的简图，一般都可以像这

样先找出确定图象形状的关键的五个点，然后描点作

图，这种作图方法称为五点法.

2.正弦函数的性质

探索研究

观察单位圆中的正弦线(图5-24)或正弦函数的图象，你发现正弦函数有哪些性质?

调动思维，探究新知

图5-24

活动2调动思维，探究新知

(1)值域

因为在单位圆中，正弦线的长都小于或等于半径的长1,所以sinx≤1即-1≤sinx≤1,这就是说，正弦函数的值域是[-1,1].

函数y=sinx,在x=”+2kπ(k∈Z)处取最大值1,

在x=-2+2k(keZ)处取最小值-1

④

活动2调动思维，探究新知

(2)周期性

因为

sin(x+k·2π)=sinx(k∈Z)所以每个正弦函数值每隔2π将重复出现.

活动2调动思维，探究新知

一般地，对于函数y=f(x),如果存在一个不为0

的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，有

f(x+T)=f(x)

都成立，则把函数y=f(x)称为周期函数，这个不为0的常数T,称为这个函数的周期.

活动2调动思维，探究新知

例如，对于正弦函数y=sinx(x∈R),2π,4π,..-2π,-4π,.都是它的周期.对于一个周期函数来说，如果

在所有的周期中，存在着一个最小的正数，就把这个最

小的正数称为最小正周期，例如，2π是正弦函数y=sinx的最小正周期.

活动2调动思维，探究新知

正弦函数y=sinx(x∈R)是周期函数，2kπ

(k∈Z,