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湖北省武汉市2024-2025学年高三数学上学期期中试题
本试题共4页,四大题.全卷满分150分,考试用时120分钟.请将答案填涂在答题上.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满意,则复数()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得,再依据复数的四则运算计算即可.
【详解】解:因为,
所以.
故选:D.
2.集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解出集合A,B的详细区间,再依据交集的定义求解即可.
【详解】对于集合A,;
对于集合B,;
由于,
,;
故选:D.
3.在中,“”是“为锐角三角形”()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】若为锐角三角形,则,则,进而可得,利用诱导公式可得,即,即可得到结果.
【详解】若为锐角三角形,则,即,
又,,则,所以,
则,所以;
若,则,即均为锐角,所以,即,所以,则,即,
所以为锐角三角形;
故“”是“为锐角三角形”的充要条件,
故选:C
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定,考查诱导公式在三角形中的应用.
4.已函数及其导函数定义域均为,且,,则关于的不等式的解集为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据已知不等式构造函数,利用导数推断所构造的新函数的单调性,然后利用单调性进行求解即可.
【详解】由,设是实数集上的减函数,且,
所以由,
故选:B
5.已知,,且,则的最小值为()
A. B. C. D.5
【答案】C
【解析】
【分析】由,再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为,,,
所以
,
当且仅当即等号成立.
故选:C.
6.函数,方程有6个不同的实根,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程有6个不同的实根,等价于的图象与直线有6个不同的交点,作出函数的图象可得答案.
【详解】由方程得或,
则方程有6个不同的实根,等价于的图象与直线有6个不同的交点,
当时,,则,
令,得:,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
故时,取微小值,
当时,,
当时,单调递增;当时,单调递减,
且,
依据以上信息,作出的大致图象如图,
由图可知,的图象与直线有2个不同的交点,
由题意,只需的图象与直线有4个不同的交点,则,
综上得:的取值范围是.
故选:A.
7.定义在上的函数满意,时,若的解集为,其中,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据题意可知:函数关于对称,作出函数在区间上的图象,然后依据函数的图象和不等式的解集确定实数的取值范围即可.
【详解】因为函数满意,所以函数关于对称,
作出函数在区间上的图象,又因为不等式的解集为,其中,依据图象可知:
当直线过点时为临界状态,此时,
故要使不等式的解集为,其中,则,
故选:.
8.随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩,公园停车位严峻不足.如图所示,公园里有一块扇形空地,其半径为,,为弧的中点,要在其内接矩形(点、分别在半径、上,点、在弧上,且)上修建停车场,则停车场面积最大值为(单位:)()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OP,设,利用正弦定理表示出PQ和PN的长,再用的表达式表示出矩形的面积,利用三角函数求解最值问题
【详解】连接OP,OC交PN于点E,设,四边形为矩形,并且,,又为弧的中点,,,,在直角三角形POE中,,,在中,,由正弦定理得,.矩形的面积
,由题意可得,,当时,矩形面积最大为.
故选:C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设为复数,,,则下列说法正确的是()
A.若,则的实部和虚部分别为和
B.设为的共轭复数,则
C.
D.若,,则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限
【答案】AB
【解析】
【分析】结合复数的定义和复数的相关性质即可得出答案
【详解】由复数的概念可知,复数的实部为,虚部为,所以A正确,
和可知,所以B正确,
对于C,是一个实数,而不肯定为实数,所以C错误,
当取偶数时,为实数,在复平面对应的点在实轴上,所以D错误
故选:AB
10.已知数列的前项和满意,则下列说法正确的是()
A.是为等差数列的充要条件
B.可能为等比数列
C.若,,则为递增数列
D.若,则中,,最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算,
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