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浙江省杭州市2024-2025学年高二数学上学期第一次阶段性测试

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.过点和点直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系、斜率的计算公式即可得出．

【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，

则，

又，．

故选：C．

2.复数，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【详解】，

．

故选：D．

3.如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．

【详解】、分别是对边、的中点，

，．

，

因此，．

故选：D

4.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）

A. B. C.8 D.

【答案】D

【解析】

【分析】依据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．

【详解】还原直观图为原图形如图所示，

因为，所以，还原回原图形后，

，；

所以原图形的面积为．

故选：D

5.如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【详解】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，

从而，，

设平面的法向量为

则，即

令，则，

为平面的法向量

故点到平面的距离

故选.

6.在所在的平面内，点满意，若，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知，为的外心，推导出，，由此可求得的值.

【详解】在所在的平面内，点满意，则为的外心，如下图所示：

取的中点，连接，则，

，同理可得，

因此，

故选：A.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算；

（3）利用数量积的几何意义．

详细应用时可依据已知条件的特征来选择，同时要留意数量积运算律的应用．

7.如图：在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，点是边的中点，且，则的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】依据，由正弦定理得到，再利用余弦定理求得，然后分别在和中，利用余弦定理得到，，然后两式相加整理得到a，b的关系，然后在中，利用余弦定理再得到a，b的关系，结合求得b,再利用三角形面积公式求解.

【详解】因为，

由正弦定理整理得：，

由余弦定理的，

因为，

所以，

在中，由余弦定理得：，

在中，由余弦定理得：，

两式相加整理得：，

在中，由余弦定理得：，

整理得：，

所以，

解得，

所以，

故选：B

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.

8.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）

A.平面平面 B.异面直线与所成的角为

C.二面角的大小为 D.在棱上存在点使得平面

【答案】D

【解析】

【分析】依据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行推断即可．

【详解】解：对于，取的中点，连，，侧面为正三角形，

，

又底面是的菱形，

三角形是等边三角形，

，

，平面，平面

平面，故正确，

对于，平面，

，即异面直线与所成的角为，故错误，

对于，底面为菱形，，平面平面，

平面，，，，”

则是二面角的平面角，

设，则，，

在直角三角形中，，

即，故二面角的大小为，故错误，

对于A，平面，，

所以平面，平面，

所以面平面，明显平面与平面不垂直，故A错误；

故选：．

【点睛】

本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，依据相应的推断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9.某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，

年龄

28

29

30

32

36

40

45

人数

1

3

3

5

4

3

1

有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）

A.众数是32 B.众数是5 C.极差是17 D.25%分位数是30

【答案】ACD

【解析】

【分析】依据人数最多确定众数；最大值