为单元节点位移列阵.pptx

第5章 有限元法(1);第5章 有限元法;5.1 概述;目前，工程中实用的数值解法主要有三种：

有限差分法

有限元法

边界元法

其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。;“有限元法”的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。

“有限元法”这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。

到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。;有限元法的分析过程可概括如下：

连续体离散化

单元分析

整体分析

确定约束条件

有限元方程求解

结果分析与讨论;1.连续体离散化;图5-1所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子。图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元；

三角形单元的三个顶点都是节点。;2.单元分析;(2)分析单元的特性，建立单元刚度矩阵;4.确定约束条件;应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析方法的不同，有三种基本解法：

?位移法

?力法

?混合法;(1)位移法;有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用性，因而它可用于解决工程中的许多问题。

目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问题。

机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。

有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性和粘塑性材料以及流体均能求解；

对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。;到20世纪80年代初期，国际上已开??出了多种用于结构分析的有限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、SAP等。

表5-1列出了几种国际上流行的商用有限元程序的应用范围。;表5-1;表5-1(续);5.2 单元特性的推导方法;图5-3;单元的划分基本上是任意的，一个结构体可以有多种划分结果。但应遵循以下划分原则：

分析清楚所讨论对象的性质，例如，是桁架结构还是结构物，是平面问题还是空间问题等等。

单元的几何形状取决于结构特点和受力情况，单元的几何尺寸(大小)要按照要求确定。一般来说，单元几何形体各边的长度比不能相差太大。

有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工作量就越大。

因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。

在进行网格疏密布局时，应力集中或变形较大的部位，单元网格应取小一些，网格应划分得密一些，而其他部分则可疏一些。;在设计对象的厚度或者弹性系数有突变的情况下，应该取相应的突变线作为网格的边界线；

相邻单元的边界必须相容，不能从一单元的边或者面的内部产生另一个单元的顶点。

网格划分后，要将全部单元和节点按顺序编号，不允许有错漏或者重复；

划分的单元集合成整体后，应精确逼近原设计对象。原设计对象的各个顶点都应该取成单元的顶点。

所有网格的表面顶点都应该在原设计对象的表面上。所有原设计对象的边和面都应被单元的边和面所逼近。;5.2.2 单元特性的推导方法

单元刚度矩阵的推导是有限元分析的基本步骤之一。目前，建立单元刚度矩阵的方法主要有以下四种：;1.直接刚度法;由上图可见：;为使问题简化，可把图示的梁看作是一个梁单元。

如图5-4所示，当令左支承点为节点i，右支承点为节点j时，

则该单元的节点位移和节点力可以分别表示为：;显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围内，这种关系是线性的，可用下式表示;上式(5-3b)称为单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）的联系；;伸缩：

挠度：转角：

由上述三式可以解得;由式(5-3a)解得;由上述三式可以解得;(3)同理，设 ，其余位移分量均为零，即此时梁单元如图5-5(c)所示，由梁的变形公式得;利用静力平衡条件，可得;可以看出，[K](e)为对称矩阵。;2.虚功原理法;由弹性力学平面问题的特点可知，单元每个节点有两个位移分量，即每个单元有6个自由度，相应有6个节点载荷，写成矩阵形式，

即;(1)设定位移函数;上式(5-5)也可用矩阵形式表示，即;由于节点i、j