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专题5：椭圆的对称性

一、单选题

1．椭圆的左右焦点为，，为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，则的周长为（）

A． B． C． D．

2．如图，椭圆的方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（）.

A． B． C． D．

3．椭圆的左、右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点o的直线交椭圆于另一点Q，则△的周长为（）

A．4 B．8 C． D．

4．已知分别是椭圆的左?右顶点，是椭圆上两点关于轴对称，若的斜率之积为，则椭圆的离心率是（）

A． B． C． D．

5．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

6．设椭圆，若四点，，，中恰有三点在椭圆上，则不在上的点为（）．

A． B． C． D．

7．设、是椭圆上相异的两点.设、.

命题甲：若，则与关于轴对称；

命题乙：若，则与关于轴对称.

关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（）

A．甲和乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题

C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲和乙都是假命题

8．若点，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（）

A．4 B． C． D．

9．已知椭圆：，其左右焦点分别为、，为椭圆上一动点，则满足为的点有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

10．椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为（）

A． B．

C．或 D．或

二、填空题

11．已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，请写出两个符合条件的实数的值______．

12．如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：

①P到四点的距离之和为定值；

②曲线C关于直线均对称；

③曲线C所围成区域面积必小于36.

上述判断中所有正确命题的序号为_______.

13．已知椭圆是椭圆的上顶点，过点P作直线，交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，则的最大值为________．

14．如图，已知F1,F2分别是椭圆x24+y23=1的左，右焦点，A，B，C

15．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为__________．

16．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是____．

三、双空题

17．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长的最小值为__________，的面积的最大值为__________．

四、解答题

18．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.

19．已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（2）求实数的取值范围；

（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

20．已知椭圆C：（）经过点，离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点（）在椭圆C上，求证；直线与直线关于直线l：对称.

参考答案

1．C

【分析】根据对称关系可知为△的中位线,再利用椭圆定义可得,从而可得的周长.

【解析】因为关于的对称点为，关于的对称点为,

所以为△的中位线,

所以,

,

所以的周长为12+4=16.

故选:C.

【点评】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.

2．B

【分析】延长射线、分别与椭圆相交于、两点，由椭圆的对称性，则，若直线的斜率不存在易得；若直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用两点间的距离公式结合韦达定理建立求解.

【解析】如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，

由椭圆的对称性可知，，

设点的坐标为，点的坐标为，

则点的坐标为.

①若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，

有

②若直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立方程，消去后整理为，

有，，

，

，

，

，

则的取值范围为.

故选：B

【点评】本题主要考查椭圆的对称性以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.

3．C

【解析】由椭圆对称性得,因为轴，所以，因此△的周长为，选C.

4．B

【分析】设出椭圆的左右顶点，以及利用椭圆的对称性设出的坐标，运用椭圆方程和直线的斜率公式，化简变形，即可求解.

【解析】分别是椭圆的左?右顶点，

又是椭圆上关于轴对称的两点，设则且，即.

故的斜率之积为

所以椭圆离心率是

故选：B

【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情