承前启后的大学数学20100728.docx

PAGE

PAGE2

【新】承前启后的大学数学

四川大学数学学院，马洪

2010-07-20于拉萨西藏大学

2010-07-28于成都四川大学

●个人简介

马洪，1969 年毕业于四川大学数学系基础数学专业，现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。

●读书心得

有人说

数学是艰深的、抽象的、枯燥的；但其实

数学也是简单的、直观的、有趣的。

●我对数学的理解

数学的框架是简单的、

数学的原理是直观的、

数学的思想是有趣的。

●承前启后的大学数学

1、中学数学：初等数学

研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学

2、大学数学：高等数学

研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学

从初等数学到高等数学的历史沿革

（一）中学数学回顾：初等数学

在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数：

一元线性函数：y= f(x)?ax?b

从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间 像空间

?f(.)

?

R R

多元线性函数：Y=f(X)= ax

11

ax

2 2

?ax ?b

n n

从“n维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”原像空间 像空间

Rn

（二）大学数学回顾：高等数学

?f(.)R

（1）《线性代数》：数字信号处理的基础

线性代数在做什么？其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”

的“线性映射”：Y?T[X]，即

从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射”

?T(.)

?

Rn Rm

函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系

线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”（也称有穷维线性空间），所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；

然后再研究对应关系：从“n维线性空间”到“m维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵，它研究了各种各样的矩阵及其性质。

所以线性代数的研究内容用一句话来说就是：

研究

研究“有穷维线性空间”到“有穷维线性空间”的“线性映射”

有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”有穷维线性映射：矩阵

《泛函分析》：现代信号处理的理论基础！！

数学作为一种工具要应用到各个领域中去解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数，比如语音信号、雷达信号、股市行情、气温变化??。以手机通话为例，手机作为一个系统：完成语音信号与无线电信号的相互转化。因此它可以被看作为映射（或曰算子）。如果我们把输入的一个语音信号看作一个向量的话，这个向量的维数是多少？无穷维！工程中这样的东西多了，手机、雷达、电视机、录音机??，这些系统实际上都可看作我们数学上的映射：把一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量（信号）对应起来。比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受（把无线电信号转换为语音信号）两种功能，这两种功能分别由两个电子信息子系统来实现，这两个子系统实际就是两个算子。我们知道，语音信号、无线电信号都是能量有限信号，用数

学的语言来描述，就是平方可积函数，而平方可积函数的全体就是L2空间，从

而是Hilbert空间。所以一部手机实际上就是“Hilbert空间”到“Hilbert空间”的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话来描述《线性泛函分析》这门课程的主要内容，那就是：

研究

研究“无穷维线性空间”到“无穷维线性空间”的“线性映射”

无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”无穷维线性映射：线性算子

R ?

R ?R

? ?

比较一下《线性代数》与《线性泛函分析》的一句话描述，我们惊奇地发

比较一下《线性代数》与《线性泛函分析》的一句话描述，我们惊奇地发现，它们是那样的相似，唯一的区别是“有”与“无”。但失之毫厘，谬以千里，一字之差，带来的是“有穷”与“无穷”的本质区别。因此，在学习泛函分析的时候，我们要注意比较《线性代数》和《线性泛函分析》研究内容的异同：

相同之处：它们共同关心的问题是映射的“线性性”

不同之处：其“原像空间”、“像空间”分别为“有穷维”与“无穷维”

典型的无穷维线性空间如，完备的线性距离空间

完备的线性赋泛空间（Banach空间）完备的线性内积空间（Hilbert空间）

《数学分析》（又称《微积分》）的基本框架、核心内容：数学分析的核心内容：